为什么哈里斯矩阵是正半正定的

Question

我正在学习“Harris Corner Detector”算法， 并且坚持这里为什么哈里斯矩阵是正半正定的。

由于哈里斯矩阵的迹线是正的，所以我可以告诉哈里斯矩阵的两个特征值都是正的，或者是一个正的，一个是负的。

那么，如何推导Harris矩阵是正半正定的？

Answer 1

在Harris角点检测器的计算中生成的矩阵是结构张量（see here on Wikipedia）。结构张量M是由梯度域g的外积与自身创建的矩阵：

g = gradient( image );
M = smooth( g * g' );

（应用smooth局部平滑处理。）

没有任何平滑，g * g'总是会有一个正特征值和一个0特征值，通过构造。您可以通过写出结果矩阵的行列式来看到这一点，该矩阵始终为0，这意味着其中一个特征值必须为0（它们的乘积是行列式）。另一个必须是正数，因为迹线是两个正方形的总和;由于一个特征值为0，另一个特征值必须等于迹线。

局部平滑将几个这样的矩阵（加权加法）加在一起。将正半正定矩阵leads to a positive-semi-definite matrix加在一起：v'*A*v>=0和v'*B*v>=0，然后v'*(A+B)*v>=0。