概率选择算法

Question

鉴于：

• 长度为N的数组。
• 数组包含整数。
• 整数不一定要排序。

找到一个算法：

• 返回{近似的} K个最小的数组元素。
• 运行时复杂度为O（N log N），空间复杂度为O（log N）。
• 算法不一定是确定性的。在概率算法的情况下，还提供了近似结果质量的度量。

Answer 1

将问题视为类似于Quicksort的问题。给定数组中的元素，您可以在O（n）时间和O（lg n）空间中获得其等级。您可以使用二进制搜索在O（lg n）次迭代中找到具有给定等级的元素，总共O（lg n）空间和O（n lg n）时间。

Answer 2

不要构建分区。描述分区是什么（在恒定空间中），并以此递归选择。

quickselect recurses into的每个子数组都可以通过其边界来描述（最小和最大元素值，而不是它们的索引）。迭代所描述的子阵列需要O（ n ）比较，这些比较在每个递归级别进行，直到与快速排序相同的深度：O（log n ）in平均情况。

Quicksort还在每个递归级别进行O（ n ）比较，而普通的置换式quickselect在平均情况下总共进行O（ n ）比较（因为它总是只递归到一个分区。）

这里有一个sample implementation用于不同的元素，并带有一个普通的quickselect实现进行比较。

Answer 3

1. 迭代数组一次，找到minimum和maximum元素。
2. 遍历数组，在pivot和minimum之间找到一个随机元素maximum（不包括在内）。
3. 遍历数组并计算小于或等于pivot（numSmallerEqual）的元素数量以及大于pivot（numBigger）的元素数量。
   1. 如果K <= numSmallerEqual，请设置maximum = pivot。
   2. 其他设置minimum = pivot。
4. 如果（maximum - minimum）== 0，输出minimum，则终止。
5. 如果（maximum - minimum）== 1
   1. 如果K <= numSmallerEqual，请输出minimum。
   2. 其他输出maximum。
   3. 终止。
6. GOTO 2：

编辑：更正了lVlad指出的错误，仍然没有经过测试。

Answer 4

您可以采用参数化方法：

由于我们在问题中指定了k，我们可以将其视为常量，因此O（k log N）的空格应该是可接受的。

1. 将数组划分为等长的k分区（O（1）时间和O（k log N）空间以存储分区边框，因为每个键只需要日志N空间）
2. 查找每个分区中的最小元素（O（N）时间和O（k log N）空间以存储最小元素
3. 返回您拥有的k个元素的最大值（O（k）时间）

由于那里有更多周期的空间，因此可能有更好的方法。另请注意，这对排序的数组执行效果非常差......