Question

我对矢量和矩阵有一个小问题。

假设向量V = {v1，v2，...，vn}。我生成一个n乘n距离矩阵M，定义为：

M_ij = | v_i - v_j |这样我，j属于[1，n]。

也就是说，方阵中的每个元素M_ij是V中两个元素的绝对距离。

例如，我有一个向量V = {1,3,3,5}，距离矩阵将是 M = [ 0 2 2 4; 2 0 0 2; 2 0 0 2; 4 2 2 0; ]

看起来很简单。现在来问题了。给定这样的矩阵M，如何获得初始V？

谢谢。

基于这个问题的一些答案，似乎答案并不是唯一的。所以，现在假设所有初始向量已经归一化为0均值和1个方差。问题是：给定这样一个对称距离矩阵M，如何确定初始归一化向量？

Answer 1

你做不到。为了让您了解原因，请考虑以下两种情况：

V1 = {1,2,3}

M1 = [0 1 2; 1 0 1; 2 1 0]

V2 = {3,4,5}

M2 = [0 1 2; 1 0 1; 2 1 0]

正如您所看到的，单个M可能是多于一个V的结果。因此，您无法向后映射。

Answer 2

无法唯一确定答案，因为距离矩阵对于向所有元素添加常量以及将所有值乘以-1都是不变的。假设元素1等于0，并且第一个非零元素为正，则可以找到答案。这是伪代码：

# Assume v[1] is 0
v[1] = 0
# e is value of first non-zero vector element
e = 0
# ei is index of first non-zero vector element
ei = 0
for i = 2...n:
  # if all vector elements have been 0 so far
  if e == 0:
    # get the current distance from element 1 and its index
    # this new element may still be 0
    e = d[1,i]
    ei = i
    v[i] = e
  elseif d[1,i] == d[ei,i] + v[ei]: # v[i] <= v[1]
    # v[i] is to the left of v[1] (assuming v[ei] > v[1])
    v[i] = -d[1,i]
  else:
    # some other case; v[i] is to the right of v[1]
    v[i] = d[1,i]

Answer 3

我认为找不到原始矢量是不可能的，但你可以通过取矩阵的第一行来找到矢量的平移。

因此，只需将第一行作为向量，找到一个初始点将向量转换为。

校正：

Let v_1 = 0, and let l_k = | v_k | for k\in [2,n] and p_k the parity of v_k

Let p_1 = 1

for(int i = 2; i < n; i++)
   if( | l_i - l_(i+1) | != M_i(i+1) )
      p_(i+1) = - p_i
   else
      p_(i+1) = p_i

按顺序为[2，n]中的k \所有v_k执行此操作将显示每个v_k相对于其他v_k的奇偶校验

然后你可以找到具有相同或相反方向的原始矢量的平移

更新（对于标准化向量）：

  Let d = Sqrt(v_1^2 + v_2^2 + ... + v_n^2)

  Vector = {0, v_1 / d, v_2 / d, ... , v_n / d}
            or
           {0, -v_1 / d, -v_2 / d, ... , -v_n / d}

如何从距离矩阵计算原始矢量？

3 个答案: