在图中证明2个独立路径的NP完全性

Question

所以这是一个问题：

  

给定有向和加权图 G 及其两个顶点 a 和    b ，我们希望找到两个与顶点无关的路径，从 a 到 b ，权重之和小于给定数 n

我需要证明这个是NP完全的。我已经考虑了一段时间，但并没有真正设法解决它。

Answer 1

要证明某事物是NP完全问题，不仅要证明它在NP中，还需要将问题简化为已知的NP完全问题，然后再将其转化为我们的问题。

验证NP：

决策问题：给定图G，是否存在从a到b的路径且成本小于c，然后在G'上存在另一条路径（第一路径中未使用顶点），且成本小于c？

证书：G，a，b，c

验证：

G中的a和b是吗？ O（V）

对于G / G'，从a到b的最短路径是否小于c？ O（V ^ 2）w / Djikstra的最短路径算法两者

现在证明NP完全性： 我认为您可以将其变成背包问题。项目集将是a和b之间的路径中可用的所有边缘和权重，然后选择不超过权重c的两个解决方案的成分。您可以在多项式时间内完成此操作，因为可以使用O（ElogV）中的DFS / BFS完成查找源和目标之间的所有路径。显然，最有价值的边缘将是重量最轻的那些。然后执行背包O（？）。

Answer 2

首先了解NP问题意味着什么可能会有所帮助。基本上，NP中存在问题，这是整个决策问题类别，当给定证书时，可以完全在多项式时间内验证是答案。将这个问题分解为不同的部分可能会证明该示例问题是NP完全的。

1. 将问题重新表述为决定性声明：基本上将问题转变为是/否问题。示例：给定N个人和S个集合，则有一个数字k代表每个集合S中需要的最小人数，以便每个集合都是完整的。

2. 提供证书：针对给定的决策问题给出一般“有根据的猜测”。示例：一组大小为k

3. 在多项式时间内对证书进行验证：考虑一种可以在多项式时间内验证问题答案的方法（O（n ^ 2），O（n），等等）。示例：遍历每个集合S，如果符合“某些条件”，则添加到数组；如果确实添加到集合，则对所有N继续。完成后，找到创建的集合的大小。该验证需要多项式时间。

对于您提到的问题，请尝试将问题分解为以下步骤，并可能为了进行验证使用流行的算法来尝试找到可能的答案。同样重要的是，在第3步中添加某种类型的存在性验证检查。检查G是否实际上是具有顶点V和边E的图，对于该证明是有益的。