沿任意轴查找拐点

Question

我试图在给定一系列形成路径的（蓝色）点的情况下，找到相对于给定轴（绿线）的拐点。从下图可以看到有两个拐点（粉红色线），或者是路径相对于任务轴改变方向的地方。

棘手的部分是轴的方向可能会改变，因此它必须沿任何方向工作。我的第一次尝试是沿着路径获取两个连续的点，获取它们之间的方向，然后将其与轴的方向进行比较。

跳过一些无聊的步骤（例如记录先前的点），伪代码如下所示：

foreach point cur_point in path:
    direction = prev_point - cur_point
    (normalize direction)
    relative_direction = dir_towards_axis - direction
    (normalize relative direction)
    if the sign of either x or y has changed between relative_direction and prev_relative_direction
        # we have found an inflection point

不幸的是，这不起作用。关于我要去哪里的任何指示？

Answer 1

看看https://pomax.github.io/bezierinfo/#aligning-这个想法是通过将每个点移动{-p1.x, -p1.y}，然后旋转所有定义曲线的坐标（只要您的曲线对仿射变换是不变的！），以便最后一个坐标位于轴上（使用atan2函数为其寻找旋转角度，几乎所有编程语言都将其定位）与）。

轴对齐后，您就可以执行所需的“关于轴”的任何分析。

Answer 2

要找到所需的点，可以检测cross product在轴和当前曲线方向之间的符号变化（方向/手性测试）。

 axis_direction = axis_end - axis_start = B - A
 ....
 direction = cur_point - prev_point
 cross =  cross_product(direction, axis_direction) = 
          direction.x * axis_direction.y - direction.y * axis_direction.x

注意：如果曲线是连续的且具有解析性，则可能存在闭式公式