Big-O表示法和渐近法

Question

让

       d    
p(n) = Σ ai n^i 
      i=0

其中ad＆gt; 0是n中的度数d多项式，并且令k是常数。使用渐近符号的定义来证明以下属性。

a) if k >= d, then p(n) = O(n^k)

Omega，theta，small o和small omega属性还有4个以上的对应物，但如果我能知道如何开始，我可以自己想出其他的。

Answer 1

这很简单。请查看此处的Big O Notation正式定义：http://en.wikipedia.org/wiki/Big_o_notation#Formal_definition，尤其是本节末尾的公式limsup。你要证明的是，当n变为（正）无穷大时，p（n）/ n ^ k的极限是一个实数。如果k> d，限制为零。如果k = d，则限制为a_d。为什么？因为它是n ^ k上的简单多项式（d阶），也是多项式（k阶）。看看计算多项式的极限。

Answer 2

a) if k >= d, then p(n) = O(n^k)

如果这是真的，则存在N，A和B，使得：

p(n) <= A + B*n^k

表示所有n＆gt; = N

这样的N，A和B存在，例如：

     d    
 B = Σ ai n^i 
    i=0


 A = 1
 N = 1

如果您认为足够有洞察力，或者通过归纳证明N，A和B的选择确实使该陈述有效，您可以将其留在那里。