Question

我需要逐步的解决方案，并输入以下内容：

Docker

除了“（无可用解释）”外，它什么都不返回。该公式应得出pi / 2。

我可以对如何解决这个问题有一些想法吗？谢谢。

Answer 1

问题是您使用字符e表示欧拉数。不幸的是e只是一个变量，您对E感兴趣。 pi与Pi相同。一个是变量，另一个是无理数。

您可以考虑输入：

=Limit[Integrate[E^(x^2)*n/(1+(n*x)^2),{x,0,1}],n->Infinity]

或

=Limit[Integrate[Exp[x^2]*n/(1+(n*x)^2),{x,0,1}],n->Infinity]

但是，如果您想使用Mathematica获得结果，那么您可能会对替换 n x = y 重写积分感兴趣，这会给您：

In> Limit[Integrate[Exp[(y/n)^2]/(1+y^2),{y,0,n}],n->Infinity]
Out> Pi/2

在这种情况下，该积分非常简单，因为指数下降到1，而您只需要求解标准积分：

In> Integrate[1/(1+y^2),{y,0,Infinity}]
Out> Pi/2

另一种查看方式是将指数函数编写为级数展开，从而得出以下形式的积分之和：

In> Limit[Integrate[y^(2 m)/(1+y^2),{y,0,n}]/(m! n^(2 m)),n->Infinity]

此限制比以前更简单，因为您无需执行任何测试即可检查积分和限制是否可互换。

现在假设

I[m,n] = Integrate[y^(2 m)/(1+y^2),{y,0,n}]/(m! n^(2 m))

那么您知道对于 m> 0 ， I [m，n]≤J [m，n] ，且

J[m,n] = Integrate[y^(2 m - 2),{y,0,n}] = n^(2m - 1)/(2m - 1)/(m! n^(2 m))

由于 0≤I [m，n]≤J [m，n] ，我们知道 0≤I [m，Infinity]≤J [m，Infinity] = 0 ，对于 m> 1 或 I [m，Infinity] = 0 。这给我们留下了 I [0，Infinity] ：

Limit[Integrate[Exp[(y/n)^2]/(1+y^2),{y,0,n}],n->Infinity] =
   Integrate[1/(1+y^2),{y,0,Infinity}]

尽管这实际上不是Mathematica问题，更不是Mathematics Stack Exchange问题，但我相信这可以回答您的问题。