线性规划线去除最优解

Question

在该线性程序中，如何证明35.19行的约束是多余的，因为如果在（35.17）–（35.20）行中将其删除，则对于线性程序，任何最优解都必须满足x（v）≤1每个v∈V。 LP

我认为我需要使用线性程序的松弛版本，但不确定。 除此之外，我不确定如何证明这一点。

Answer 1

您已经在寻找该程序的宽松版本，否则您的变量将被约束为集合的成员。

就像您需要考虑该程序的对偶一样，它将把>=约束转换为<=约束。

Answer 2

假设权重w为非负数，您的主张几乎是正确的（否则，如果某些w_v为负数，则删除x_v <= 1将允许x_v前进到无穷大，问题将是无限的。

现在，假设在最佳解决方案中存在一个x_v = 1 + ε，其中ε > 0。如果我们将此解决方案更改为x_v = 1，则问题仍然可行，并且目标值不会比以前差，因此也是最佳的。

这证明存在x_v <= 1的最优解（如果根本存在最优解）。

因此，虽然每个最优解都不具有x_v <= 1的事实，但确实可以将每个有限最优解转换为x_v <= 1的解而不会造成损失普遍性，从这个意义上讲，约束是多余的。

由于我在这里没有考虑的原因，常规求解器很可能会返回一个x_v <= 1的解决方案，因为它们的工作方式（它们返回基本解决方案）。

我希望这会有所帮助。