Question

我只是想知道这样的嵌套循环会运行多少次

int sum = 0;
for(int i = 0; i < total; i++) {
    for(int j = i + 1; j < total; j++) {
        for(int k = j; k < total; k++) {
            sum++;    
        }
    }
}
System.out.println(sum);

我可以轻松地看到sum的输出，但是我希望能够用数学方法计算出sum的总数为total的总数。

Answer 1

它只需要一点编程知识。实际上，运行在后面的逻辑只是计算方面的事情。假设：

total=10,sum=0

-当我为0时：

那个时间j用1（i + 1）和k初始化。因此k将导致我们执行9次循环，并且随着j的增加，它将导致我们执行sum语句8次，7次，再执行6次直到1次。（9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45次。）

-当我为1：

那个时间j也用2和k初始化，所以sum语句将执行8次，然后执行7次，然后执行6次直到1。（8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36次）。

-当我2时：

同一件事重复发生，但以差数开头，所以这次（7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28）

因此，此序列继续进行，直到有意义地真实出现该条件为止。这种情况一直持续到我9岁。

所以最终答案是1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 28 + 36 + 45 = 165。

Answer 2

中间循环的第一次迭代添加

total-1 + total-2 + ... + 1

总和。

中间循环的第二次迭代添加

total-2 + total - 3 + ... + 1

求和

中间循环的最后一次迭代添加

总和。

如果将所有这些条件加在一起，您将得到

(total - 1) * 1 + (total - 2) * 2 + (total - 3) * 3 + ... + 2 * (total - 2) + 1 * (total - 1)

自从我学习数学以来已经有一段时间了，所以我不记得这个表达式是否有一个更简单的公式。

例如，如果总数为10，则得到：

9 * 1 + 8 * 2 + 7 * 3 + 6 * 4 + 5 * 5 + 4 * 6 + 3 * 7 + 2 * 8 + 1 * 9 =
9 + 16 + 21 + 24 + 25 + 24 + 21 + 16 + 9 = 
165

Answer 3

TL; DR

该循环将执行((total ^ 3) - total) / 6次，因此它将是循环结束时sum的值。

int sum = 0;
for(int i = 0; i < total; i++) { 
    for(int j = i + 1; j < total; j++) {
        for(int k = j; k < total; k++) {
            sum++;    
        }
    }
}

很容易看出外部循环运行了total次。第二个循环比较棘手

让我们尝试解决这个问题

i = 0，j从1..total - 1运行

i = 1，j从2..total - 1运行

i = 2，j从3..total - 1运行

... i = total - 2，j从total - 1 ..total - 1运行（仅运行一次）

i = total - 1，因为循环终止条件为true，所以内部循环不执行。

第三个循环依赖于第二个内部循环-k从j..total - 1开始运行

让我们将总数设为6

j从1..5运行-> k运行5次（j = 1）+ 4次（j = 2）+ 3次（{{1 }}）+ 2次（j = 3）+ 1次（j = 4）

（为其他人显示缩小版本）

j = 4

哪个

2..5 -> 4+3+2+1
3..5 3+2+1
4..5 2+1
5..5 1

通常

1 + 2 + 3 + 4 + 5+
1 + 2 + 3 + 4 + 
1 + 2 + 3 +
1 + 2 +
1

这归结为总和 1 + 2 + 3 + .. n + 1 + 2 + 3 +..n - 1+ 1 + 2 + 3 +..n - 2+ 1 + 2 + 3 + 1 + 2 + 1

对于n * (n - 1)) / 2的所有值，范围为n

这可以通过以下方式验证

1 to total

int res = 0; for (int i = 1; i <= total; i++) { res += (i * (i - 1))/2; }等于您的res。

从数学上讲，

sum

派生：

参考：

Sums of the First n Natural Numbers

Sum of the Squares of the First n Natural Numbers

Answer 4

最外层循环运行“总数”次。

对于每个外部循环，中间循环运行'total-i'次。

即合计*合计+合计*（合计1）+合计*（合计2）....合计* 1

=总数*（total + total-1 + total-2 ... 1）

=总数*（1 + 2 + 3 ....总数）

=总数*（第一个“总”自然数之和）

=总数*（总数*（总数+1）/ 2）

现在最里面的循环也为每个中间循环运行'total-j'次

即总数*（总数*（总数+1）/ 2）*（总数+（总数-1）+（总数-2）.... + 1）

=总数*（总数*（总数+1）/ 2）*（1 + 2 + 3 .... +总数）

=总数*（总数*（总数+1）/ 2）*（第一个“总数”自然数之和）

=总数*（总数*（总数+1）/ 2）*（总数*（总数+1）/ 2）。所以最后您会得到一些接近的东西

总数*（总数*（总数+1）/ 2）*（总数*（总数+1）/ 2）。

对不起，因为@andreas提到了最里面和中间的循环只运行到total-i-1次，所以进行了更正在这种情况下，它将是第一个（总计1个）编号的总和，应该是（总计1个）*总计2个，因此最终输出应为

total *（total *（total-1）/ 2）*（total *（total-1）/ 2）。

Answer 5

等式如下并且k等于total：

Answer 6

我们知道，算术级数的总和是：

最里面的循环将循环

times，它是j的函数。

您将其总结并获得i的函数，又称：

您再次对其求和并获得total的函数，又称：

对于Mathematica个用户，结果是：

f[x_]:=Sum[Sum[x-j,{j,i+1,x-1}],{i,0,x-1}]

在here中，我们可以更清楚地看到它，并且 FINAL 的结果是：

其中x是total。

Answer 7

如果我们运行此循环100次并生成一个数据集，然后对其进行图形处理，则会得到：

现在，此图显然是立方的。因此我们可以使用ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d的三次方程式进行求解。

使用4点，它们的值均为：

所以完整的等式是

y=x^3/6-x/6
y=x(x^2/6-1/6)
y=(x/6)(x^2-1)

互动图：

<iframe src="https://www.desmos.com/calculator/61whd83djd?embed" width="500px" height="500px" style="border: 1px solid #ccc" frameborder=0></iframe>

Answer 8

该函数将循环(total/6)*(total*total - 1)次下面的代码段只是验证了这一点

var total = 100
var sum = 0;
for(var i = 0; i < total; i++) {
    for(var j = i + 1; j < total; j++) {
        for(var k = j; k < total; k++) {
            sum++;    
        }
    }
}

function calc(n) {
  return n*(n-1)*(n+1)/6
}

console.log("sum: "+sum)
console.log("calc: "+calc(total))