在matlab / mathematica中以数值方式评估不确定的积分，该积分无法进行符号运算

Question

我正在尝试计算Matlab和Mathematica中该软件无法象征性完成的功能的积分。

到目前为止，这是我的MatLab代码，但我了解它可能并没有太大帮助。

f = @(t) asin(0.5*sin(t));
a = @(t) sin(t);
F = int(f,t)   % Matlab can't do this
F = 
int(asin(sin(t)/2), t)
A = int(a,t)   % This works
A =
-cos(t)

dt = 1/(N-1); % some small number
for i=1:N
    F(i) = integral(f,(i-1)*dt,i*dt);
    A(i) = integral(a,(i-1)*dt,i*dt);
end

for循环中的两个计算都给出了f或a的近似值，而不是它们与dt相乘后的积分。

在数学堆栈交换上，我发现了一个question，它得出了一个有限差分，如积分方法。但是，当我在Matlab中进行计算时，它会输出f的缩小版本，这在绘制后很明显（请参阅上文，我的意思是缩小）。我认为这是因为对于较小的时间间隔，积分基本上将函数近似于不同程度的精度（再次参见上文）。

我正在尝试获取积分的符号方程或每个位置上函数的积分的近似值。

因此，我的问题是如果我具有MatLab和Mathematica无法轻易采用的积分的功能

1. 除默认值之外，是否可以直接使用积分计算器来近似积分？（int，integral，trapz）

或

1. 我可以先对具有有限差分的函数进行近似，然后以符号方式求积分吗？

Answer 1

您的代码几乎可以了

for i=1:N
    F(i) = integral(f,0,i*dt);
end

您也可以这样做

F(1)=integral(f,0,dt)
for i=2:N
    F(i) = F(i-1)+integral(f,(i-1)*dt,i*dt);
end

第二种选择肯定更有效

因为原语实际上是F（x）= int（f（x），0，x）（0定义了一个常数）并且对于足够小的dx，您已经证明f（x）= int（f（x ），x，x + dx）/ dx i。您已经证明MATLABintégral函数可以发挥作用。

例如，让我们假设 = ，如果您想计算，则上面的函数将计算，只需将上面的0替换为常量a你喜欢。

现在，所以您应该得到F，其中包含离散化的

Answer 2

The accepted answer in general is by far the best method I would say but if certain restrictions on your functions are allowable then there is a second method.

For two functions f and g see below

T = 1;  % Period
NT = 1;  % Number of periods
dt = 0.01; % time interval
time = 0:dt:NT*T;  % time

syms t
x = K*sin(2*pi*t+B);   % edit as appropriate

% f = A/tanh(K)*tanh(K*sin(2*pi*t+p))
% g = A/asin(K)*asin(K*sin(2*pi*t+p))

formulas found here

f = A1/tanh(K1)*(2^(2*1)-1)*2^(2*1)*bernoulli(2*1)/factorial(2*1)*x^(2*1-1);
% |K1|<pi/2
g = A2/asin(K2)*factorial(2*0)/(2^(2*0)*factorial(0)^2*(2*0+1))*x^(2*0+1);
% |K2|<1

there are no such limitations in the accepted answer

N = 60;
for k=2:N
    a1 = (2^(2*k)-1)*2^(2*k)*bernoulli(2*k)/factorial(2*k);
    f = f + A1/tanh(K1)*a1*x^(2*k-1);

    a2 = factorial(2*k)/(2^(2*k)*factorial(k)^2*(2*k+1));
    g = g + A2/asin(K2)*a*x^(2*k+1);
end

MATLAB can calculate sin^n(t) for n being an integer.

F = int(f,t);
phi = double(subs(F,t,time));

G = int(g,t);
psi = double(subs(G,t,time));