Question

我的目的是证明所生成列表的某些属性成立。例如，一个生成器函数产生一个1s的列表，该列表的长度作为参数给出；我想证明列表的长度是参数指定的长度。这是我到目前为止的内容：

Require Import List.

Fixpoint list_gen lng acc :=
match lng with
0 => acc
| S lng_1 => list_gen (lng_1) (1::acc)
end.

Lemma lm0 : length(list_gen 0 nil) = 0.
intuition.
Qed.

Lemma lm1 : forall lng:nat, length(list_gen lng nil) = lng.
induction lng.
apply lm0.

现在应用lm0后，剩下的归纳步骤是：

1 subgoal
lng : nat
IHlng : length (list_gen lng nil) = lng
______________________________________(1/1)
length (list_gen (S lng) nil) = S lng

我希望从list_gen的代码中推断出这一步的证据，但这很可能是一个错误的概念。如何证明此子目标？

Answer 1

我会采用Daniel的方法，但是更通用的方法是写出list_gen的规范，例如使用 non-tail-recursive repeat函数：

Require Import List Arith.
Import ListNotations.

Lemma list_gen_spec : forall lng acc, list_gen lng acc = repeat 1 lng ++ acc.
Proof.
  induction lng as [| lng IH]; intros xs; simpl; trivial.
  rewrite IH.
  now rewrite app_cons_middle, repeat_singleton, repeat_app, Nat.add_comm.
Qed.

我必须在其中添加关于repeat与某些标准列表函数的交互作用的引理。

Lemma repeat_singleton {A} (x : A) :
  [x] = repeat x 1.
Admitted.

Lemma repeat_app {A} (x : A) n m :
  repeat x n ++ repeat x m = repeat x (n + m).
Admitted.

Lemma app_cons {A} (x : A) xs :
  x :: xs = [x] ++ xs.
Admitted.  (* this is a convenience lemma for the next one *)

Lemma app_cons_middle {A} (y : A) xs ys :
  xs ++ y :: ys = (xs ++ [y]) ++ ys.
Admitted.

我将这些引理的证明留作练习。

证明规格后，只需几次重写即可证明您的引理。

Lemma lm1 lng : length(list_gen lng nil) = lng.
Proof.
  now rewrite list_gen_spec, app_nil_r, repeat_length.
Qed.

证明清单的性质

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