log（n！）等于nlogn吗？ （大O符号）

Question

我的书中有一个选择题：

  

以下功能的大O表示法是什么：   n ^ log（2）+ log（n ^ n）+ nlog（n！）

我知道log（n！）属于O（nlogn），但我在网上阅读到它们是等效的。 log（n！）和说nlogn怎么一样？ 怎么： log（n！）= logn + log（n-1）+ ... + log2 + log1 相当于nlogn？

Answer 1

让n/2为n除以2的整数除数的商。我们有：

log(n!) =  log(n) + log(n-1) + ... + log(n/2) + log(n/2 - 1) + ... + log(2) + log(1)
        >= log(n/2) + log(n/2) + ... + log(n/2) + log(n/2 - 1) + ... + log(2)
        >= (n/2)log(n/2) + (n/2)log(2)
        >= (n/2)(log(n) -log(2) + log(2))
        =  (n/2)log(n)

然后

n log(n) <= 2log(n!) = O(log(n!))

和n log(n) = O(log(n!))。相反，

log(n!) <= log(n^n) = n log(n)

和log(n!) = O(n log(n))。