Question

我最近遇到了一个问题，发现要找到一对好的圆。当通过将第一个圆上的任意点 P1 和第二个圆上的 P2 连接起来可以得到给定的距离时，就会形成一对良好的圆。我们得到了 N 个圆和 Q 距离。接下来的 N 行包含圆心的坐标（ X ， Y ）及其半径 R 。之后，下一个 Q 列出要检查的距离。

以下约束适用：

2≤ N ≤10 ³

1≤ Q ≤5⋅10⁵

X ， Y ≤|2⋅10⁵ |

1≤ R ≤2⋅10⁵

0≤ K ≤10 ⁶

执行时间必须小于1秒。

在这里， K 是要检查的距离。

删除了我的代码，因为它是正在进行的比赛的一部分

我的代码仅被部分接受，我花了数小时试图为这个问题找到有效的算法。谁能为这个问题提供一种有效的方法，以使TLE得到解决？

Answer 1

这是我可能想到的一种可能的解决方案：

遍历每对圆（c ₁，c ₂）并计算两个值（PS（c ₁， c ₂）与（c ₂，c ₁））不相同
1. 如果c ₂完全位于c ₁内部，则忽略该对。
2. Value ₁ -圆c ₁和c ₂之间的最短距离--< em>其中心之间的距离-r ₁-r ₂ 用于不相交的圆， 0 用于相交的圆和 r ₂-dist-r ₁ ，其中c ₁位于c ₂内部。 li>
3. Value ₂ -增大r ₁的最小值，以使c ₁完全吞并c ₂使得它们根本不相交-这是它们的中心之间的距离+ r ₂-r ₁ 用于不相交或相交的圆，而 dist + r2 用于休息。
此范围[ Value ₁ ， Value ₂ ]定义圆c半径的数量₁应该增加，使其与c ₂相交，在我们的情况下，c ₂由K定义。如果K属于[ Value ₁ ， Value ₂ ]，那么我们可以确保在c 1 > 1 和c ₂上的点P ₂，使得它们之间的距离为K。这是因为如果我们增大c _{1 < / sub>在该范围内，它将与c ₂相交。}
上述操作的时间复杂度为O（n ²）。我们可以从所有可能的圆对中收集所有范围，并回答任何查询，我们只需要检查给定K所在的范围。
为了方便查询，我们可以使用二元索引树来存储范围，其中我们在索引 Value ₁ 处添加+1，在索引（ Value ₂ + 1）的二进制索引树，然后对于每个查询，我们检查索引K的读取值是否>0。这使我们能够返回O中任何查询的答案（log（K））。构造树的成本为O（N ² log（K））-包括形成所有成对的圆。
我们还可以使用辅助数组代替二进制索引树来回答O（1）中的查询，如果需要，我愿意讨论其范围。

对于辅助数组方法，初始化一个长度为K的数组，即10 ^ 6，所有元素初始设置为0。现在保留所有Value ₁的最小堆和所有value ₁的最小堆。值Value ₂。现在，

aux_array = [0, 0, ... ]
curVal = 0
for i in range(0, 10^6):
  while minHeapValue1.root() == i:
     curVal += 1
     minHeapValue1.rootPop()
  while minHeapValue2.root() == i:
     curVal -= 1
     minHeapValue2.rootPop()
  aux_array[i] = curVal

现在，如果aux_array [query_k_value]> 0，则表示存在一个包含query_k_value的范围，否则不包含。

因此，问题的总时间复杂度为O（Qlog（K）+ N ² log（K））。

查找对的更有效方法

1 个答案: