如何在python中计算数值导数的边界点？

Question

我正在尝试编写一个函数以采用任何通用函数/数字数组的派生形式。具体来说，我正在使用Central difference formula。问题是，由于中心差公式使用了超出范围的索引，因此我无法计算导数的边界点。我的代码在下面

import numpy as np
n = 20000 # number of points in array
xs = np.linspace(start=-2*np.pi, stop=2*np.pi, num=n) # x values
y = np.array([np.sin(i) for i in xs]) # our function, sine

def deriv(f, h):
    """
    Calauclate the numerical derivative of any function
    :param f: numpy.array(float), the array of numbers we differentiate
    :param h: step size
    :rtype d: numpy.array(float)
    """
    d = np.zeros_like(f)
    # this loop misses the first and last points in f
    for i in range(1, f.shape[0]-1):
        # 2-point formula
        d[i] = (f[i+1] - f[i-1])/(2*h)

    return d

h = abs(xs[0] - xs[1]) # step size
y1 = deriv(y, h) # first derivative
y2 = deriv(y1, h) # second derivative
y3 = deriv(y2, h) # third derivative

当我绘制y,y1,y2,y3时，您可以看到它在端点处爆炸

我试图做的是将端点设置为deriv中与它们最近的邻居，如下所示。虽然这适用于低阶导数（一阶和二阶），但在高阶导数（三阶和更大阶）处开始破裂。

...
d = np.zeros_like(f)
for i in range(1, f.shape[0]-1):
    d[i] = (f[i+1] - f[i-1])/(2*h)

d[0] = d[1]
d[-1] = d[-2]
...

中间的导数远离边界，计算正常。问题出在边界上。

如何在这里处理边界条件？不同的数值微分方案是否比中央差分方案更好？

编辑：我正在寻找一种通用的方法来解决此问题，而不仅仅是一种可以应用于正弦函数或任何其他周期性函数的方法，正如我在此处用来说明问题的方法。

Answer 1

这比编程问题更多是数字方法问题。

无论如何，如果您的函数具有周期性边界条件（看起来是正弦波，因此在这种情况下您具有周期性），只需创建一个带有2个其他元素的新数组：新数组开始元素将是您的最后一个元素原始数组和新数组的结束元素将是原始数组的开始元素。这是一种方法

f_periodic = np.zeros(f.size+2)
f_periodic[1:-1], f_periodic[0], f_periodic[-1] = f, f[-1], f[0]

您现在可以在f_periodic上进行区分，d[1]和d[-2]将是边界上的正确派生值（忽略d[0]和d[-1]）。

按照OP的新要求进行编辑...

对于更一般的边界条件，例如边界上的特定值，可以采用以下不同的方法：

1. 使用幻影值：

再次为新边界扩展函数和extrapolate值。根据数值微分的顺序，将需要更多的鬼单元。对于当前方案，将执行简单的线性外推（每个边界仅需要1个幻影值）：

f_new = np.zeros(f.size+2)
f_new[1:-1] = f
f_new[-1] = f[-2] + (f[-2]-f[-3])/(x[-2]-x[-3])*(x[-1]-x[-2])
f_new[0] = f[1] + (f[1]-f[2])/(x[1]-x[2])*(x[0]-x[1])

请注意，您还必须扩展x。但是，由于您有恒定的间距，因此请使用h而不是空间差异，例如x[-2]-x[-3]。现在，您可以区分f_new，并且将获得边界上导数的一阶近似值（因为您使用了线性外推法来找到幻影值）。

1. 在边界上使用前进和后退方案

我不会在这里显示代码，但是基本上您需要使用边界值和左右边界的右（正）或左（后）值进行区分。这是一阶近似值。

Answer 2

您可以对边界点使用2阶的正向和反向微分方案。本质上，我们知道

(f(x+h)-f(x))/h = f'(x) + h/2*f''(x) + O(h²)                       (I)

和

(f(x+2h) - 2f(x+h) + f(x))/h² = f''(x+h) + O(h²) = f''(x) + O(h)   (II)

使用最后一个用二阶导数替换一阶项，即计算(I)-h/2*(II)以获得

(-1/2*f(x+2h) + 2*f(x+h) -3/2*f(x))/h = f'(x) + O(h²)

请注意，一阶导数的O（h²）误差通常会在除法差的第二次迭代中导致O（h）误差，而在第三次迭代中会导致O（1）。有人可能会争辩说误差项会适当抵消，但这只会在内部点发生，单边导数会随着离边界距离的增加而“破坏”该模式。