背包问题-递归解决方案说明

Question

我无法理解这种幼稚的递归解决方案的工作方式和原因。如果是初次遇到此问题，我想考虑使用所有可能的组合（反复）进行详尽的搜索，最后记录并返回最大值。有人可以解释一下该解决方案吗？

来自Csjo的代码

Answer 1

此解决方案有效，因为逻辑是合理的。让我们把这种逻辑写成文字：

容量C的最大值，使用第一个n项：

def KS(n, C):

如果我们不使用任何物品或没有容量，那么我们的值为零：

If n == 0 or C == 0:
  result = 0

否则，如果第（n个项目的重量大于此容量（C），请使用我们可以为此容量获得的最佳结果（C），而不用这个项目。这是Max value for capacity C, using any of the first to (n-1)th items的解决方案（请记住，当前计算正在寻找KS(n, C)，因此我们不允许在列表中第n之后使用任何项目）

else if w[n] > C:
  result = KS(n - 1, C)

否则，让我们决定是否应使用此项目：

else:

如果我们不使用第n条，则与我们先前的可能性相同：Max value for capacity C, using any of the first to (n-1)th items的解决方案：

  tmp1 = KS(n - 1, C)

如果确实使用它，由于当前计算正在寻找容量C的解决方案，因此，我们可以使用以前的{{1}中的任何一个，将当前值v[n]添加到我们的解决方案中}项，但容量为n-1，因此，与当前权重C - current_weight一起，我们将展示仍保留容量w[n]的解决方案：

C

选择较高的值：

  tmp2 = v[n] + KS(n - 1, C - w[n])

返回我们当前参数的正确结果：

  result = max{ tmp1, tmp2 }

递归可能有点违反直觉。调用return result 会产生大量对“较早”参数KS(n, C)，n - 1等的调用，并且容量较低，这使得这些调用似乎在之后发生初始通话。但是实际上n - 2正在等待所有这些操作完成才能回答自己的计算，因此我们可以准确地说出它是在“更早的”参数调用之后发生的。当参数值重合时，它们中的许多可能会重复出现，这就是为什么对它们进行缓存以加快例程效率的原因。

将KS(n, C)视为公式的“搜索空间”也很有用。这意味着我们实际上仅限于n, C不同的参数组合。这就是为什么某些递归（例如背包）经常被列表为n * C和n上的迭代（例如嵌套C循环）的原因。

Answer 2

此方法可能会执行详尽搜索。

这是分支和边界启发法的实现，其中if-condition限制了当前分支，因为它无法进一步增长。

如果没有这种切割算法，则会为所有可能的子集（tmp1和tmp2是选择-我们是否使用当前项目）构建完整的二叉树（

Answer 3

该解决方案基本上是尝试将项目n放入（仅在仍适合的情况下）或将其丢弃，然后尽可能多地放入其余项目（递归调用）。这给出了两个值tmp1和tmp2。然后，它将使用其中的最大值。