Question

对于一个动态编程问题，我想提出一个英语算法，备忘录表，最佳情况和递归调用来填充表以解决以下问题：

给出长度为n的字符串s，设计一种算法，输出最小的数字k，使得s = w1w2 . . . wk其中每个wi是回文。换句话说，找到最小的k使得s可以写成k个回文的串联。有关回文的定义，请参见实践问题。例如，如果s = "add"，则算法应该输出k = 2，因为我们可以取w1 ="a"和w2 ="dd"。另一方面，如果s = "ada"，则算法应输出k = 1。

我想出了以下算法：

Start

Declare variables s as string, n as integer, k as integer, i as integer.

Initialize k to 1

Read s

n<-length of string s

while  i is less then n-1

if s[i]==s[i+1] then
k++

end if

display  k

End

但是，我不确定如何提出记忆表，最佳情况以及填写该表所需的递归步骤。

Answer 1

在动态编程中，备忘录表保存实际问题的子问题的答案。结合这些子问题答案，我们可以计算出实际问题的答案。

对于此问题，实际问题是为字符串k找到最小的s回文。因此，子问题可能类似于字符串k的部分/子字符串的最小s。为简化起见，如果我们知道子字符串s[0:i]和s[i+1:length(s)-1]的答案，那么我们可以计算出s[0:length(s)-1] = s[0:i] + s[i+1:length(s)-1]的答案。

由此，我们可以轻松地形成我们的递归关系：

minKPalindrome(start, end) = minKPalindrome(start, i) + minKPalindrome(i+1, end), (start < i < end)

here, minKPalindrome(start, end) is function that return minimum k plaindrome for s[start:end] substring

可能的基本情况：

- if start > end , return answer 0
- s[start:end] is palindrome, so return answer is 1

递归算法：

memo[start][end] = contains answer for s[start:end]

minKPalindrome(start, end) {
    if s[start:end] is palindrome {
        return 1
    }

    if ans is already saved in memo[start][end] {
        return memo[start][end]
    }

    memo[start][end] = end - start + 1 // set maximum possible answer
    for i = start+1 to end-1 {
        memo[start][end] = min( memo[start][end], minKPalindrome(start, i) + minKPalindrome(i+1, end))
    }

    return memo[start][end]
}

优化算法：

概括以前的递归关系：

minKPalindrome(s[start: end]) = minKPalindrome(s[start, i]) + minKPalindrome(s[i+1, end])
or,
minKPalindrome(s[start: end]) = minKPalindrome(prefix of s) + minKPalindrome(suffix of s)

代替检查字符串s的每个前缀，我们只可以检查回文前缀。

if start[start:i] is palindrome {
    minKPalindrome(s[start: end]) = 1 + minKPalindrome(s[i+1:end])
}

基本情况：

- if start > end, return 0

递归算法：

memo[start] = contains answer for s[start:end]
end = lenght(s) - 1

minKPalindrome(start, end) {
    if start > end {
        return 0
    }

    if ans is already saved in memo[start] {
        return memo[start]
    }

    memo[start] = end - start + 1 // set maximum possible answer
    for i = start to end {
        if s[start:i] is palindrome {
            memo[start] = min( memo[start], 1 + minKPalindrome(i+1, end))
        }
    }

    return memo[start]
}

迭代算法：对于迭代算法，我们将为字符串s的前缀保存答案。

memo[i] = contains answer for s[0:i]

for i = 0 to length(s)-1 {
    for j= 0 to i {
        if s[j:i] is palindrome {
            memo[i] = min( memo[i], 1 + memo[j-1])
        }
    }
}

输出最小数回文数

1 个答案: