ball arithmetic (Arb)比interval arithmetic (MPFI)有什么优势？
换句话说，将间隔表示为[中心，半径]而不是[左，右]有什么优势？
这与特定库（Arb与MPFI）无关，而是与特定表示形式的优点有关。
我特别感兴趣的是一种表示形式是否允许更快的算术（更少的原始运算），更少的错误高估和更多的节俭内存使用。
答案 0 :(得分：2)
在任意精度算术中，球形算术的速度大约是间隔算术的两倍，并且占用的空间只有一半。原因是只有球的中心需要高精度，而在区间算术中，两个端点都需要高精度。当然，细节取决于实现。 （实际上，Arb比MPFI快两倍多，但这在很大程度上是由于实施工作所致。）
在硬件算术中，至少对于标量算术，球在间隔上确实没有速度优势。如果您看一下球运算的更一般形式，并考虑将球矩阵视为一个浮点矩阵+一个浮点数，则该矩阵在某种范式中会代替整个矩阵的误差范围，这将带来明显的优势。处理单个间隔或球的矩阵的方法。
Joris van der Hoeven的有关球算术的文章很好地说明了球算术和区间算术之间的区别：http://www.texmacs.org/joris/ball/ball.html
重要的一句话是：“大致来说，应该使用球来可靠地近似数字，而间隔主要用于依赖于空间细分的经过验证的算法。”
忽略性能问题，球和间隔通常可以互换，尽管间隔更适合细分算法。从概念上讲，球很适合表示数字，因为中心半径形式自然对应于我们对数学近似的看法。这个概念也自然地扩展到更通用的赋范空间。
我个人经常将球算术视为浮点算术+误差分析，但是误差界限的传播是由计算机而不是人工自动完成的。从这个意义上讲，这是进行浮点算术的一种更好的方法（对于某些应用！），而不仅仅是一种进行区间算术的更好的方法。
对于具有单个数字的计算，错误高估更多地与算法有关，而不是与表示有关。 MPFI保证其所有原子函数都计算出最紧密的间隔，但是，一旦开始编写函数，该属性就不会保留。无论是球算术还是区间算术，只要您使用许多相关步骤来运行计算，爆炸就会以相同的方式发生。为了跟踪初始条件下不确定性较大的误差范围，泰勒模型之类的技术通常优于直接区间或球算术。
真正的复数球（复数中心+单半径）有时比矩形复数间隔更好地表示复数，因为乘法的包装效果较小。 （但是，Arb对复数使用矩形“球”，因此它没有此特殊优势。）