在非P中证明是NP难而不是NP完全的问题

Question

如果A不是NP难的，而是不是NP完整的，则证明A in in not in P。

如果存在一个NP完全问题B，使得B在多项式时间内可简化为A，则A是NP难的。如果A在NP中并且所有NP问题都可以在多项式时间内简化为A，则A是NP完全的。但是A不是NP完全的，因此这些条件中的一个或两个必须为假。如果A不在NP中，则A不在P中。另一种情况是，存在至少一个在多项式时间内不能归为A的NP问题。这就是我卡住的地方。我怎么知道P中没有一个可还原的NP完全问题而一个不可还原为A的NP问题呢？

Answer 1

如果问题A是NP难解的，那么所有NP问题都可以在多项式时间内还原为A。

证明： 由于问题A不是NP完全问题，因此存在如上所述的问题B。可以在多项式时间内将NP中的所有问题C简化为B，然后在多项式时间内将B简化为A。多项式时间算法的组成是多项式，因此可以将多项式时间中的C还原为A。

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由于A是NP-Hard但不是NP-Complete，所以A一定不能在NP中，因此A也不在P中。