如何为Hermite多项式编写函数？

Question

对于用户输入的2个数字x和n，我的代码需要查找由以下公式递归定义的Hn（x）：

我正在尝试实现该函数的递归版本和迭代版本。但是我认为我的理解是错误的，因为我的代码由于H（n）和H [n]的错误而无法编译：

#include "pch.h"
#include <iostream>

int H(int n, int x)   //function for recursion
{
if (n < 0) return -1;
else if (n == 0) return 1;
else if (n == 1) return 2 * x;
return 2 * x * H(n) * x - 2 * n * H(n - 1) * x;
}

int H1(int n, int x) //function for Iterator
{
int *H1 = new int[n + 1];

H[0] * x = 1;
H[1] * x = 2 * x;

for (int i = 0; i <= n; i++)
{
    H[i] * x = 2 * x * H[n] * x - 2 * n * H[n - 1] * x;

}
return H1(n) * x;
}

int main()
{
int n, x;
std::cout << "Enter the number n: ";
std::cin >> n;
std::cout << "Enter the number x: ";
std::cin >> x;

std::cout << "Rec = " << H[n] * x std::endl;
std::cout << "Iter = " << H1[n] * x std::endl;
}

这很令人困惑，对此我深表歉意，因为我对功能完全陌生。

我已经设法用斐波那契数列来做到这一点。在这里，我只为函数f(x)使用了一个参数f(int n){... }，但是在这里我对函数H(int n, int x)中的两个参数有些困惑，其中n是H，而x是整数。

Answer 1

是的，您需要将以数学方式索引的函数转换为具有2个参数的函数。

除了索引中的某些偏移之外，递归版本几乎还可以：

int H(int n, int x)   // recursive version
{
    if (n <= 0)      
        return -1;
    else if (n == 1) 
        return 1;
    else if (n == 2) 
        return 2 * x;
    else 
        return 2 * x * H(n-1, x) - 2 * n * H(n - 2, x); // shift n+1, n n-1 to n, n-1 n-2 
}

您的迭代版本需要重新编写，因为您应尽可能将其编写为循环，而不必兑现不再需要的值。例如：

int Hi(int n, int x) //iterative version
{
    if (n <= 0)      
        return -1;
    else if (n == 1) 
        return 1;

    int am2 = 1;      // start for for n-2
    int am1 = 2*x;    // start for n-1
    if (n == 2) 
        return am1;

    int am; 
    for (int i=3; i<=n; i++) {
        am = 2*x*am1 -  2*i*am2;   // calculate Hn from Hn-1 and Hn-2
        //prepare next interation
        am2=am1; 
        am1=am;
    }
    return am; 
}

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Answer 2

您写道：

int H(int n, int x)   //function for recursion
{
    if (n < 0) return -1;
    else if (n == 0) return 1;
    else if (n == 1) return 2 * x;
    return 2 * x * H(n) * x - 2 * n * H(n - 1) * x;
}

您距离正在运行的程序不远。删除该H1函数。让我们看看：

int H(int n, int x)
{
    switch(n)
    {
    // H_0(x) = 1 
    case 0: return 1;
    // H_1(x) = 2x
    case 1: return 2 * x;
    // H_{n+1}(x) = 2x H_n(x) - 2n H_{n - 1}(x)
    default:
        return 2*x*H(n-1, x) - 2*(n-1)*H(n-2, x);
    }
}

窍门部分是，意识到n中的H_{n+1}(x) = 2x H_n(x) - 2n H_{n - 1}(x)和return 2*x*H(n-1, x) - 2*(n-1)*H(n-2, x);中的H并不相同，它们相差一个。

现在，您只需要处理用户I / O并使用用户输入来调用{{1}}函数。