关于将问题表述为线性程序的问题

Question

我遇到以下问题：

我们有180名学生。每个学生都必须选择6门课程之一才能获得学位。一门课程的学生不得超过30名。此外，学生必须指定三门具有不同偏好的课程：。
目标是通过以下方式找到学生对课程的分配：

• 每个学生都被分配到一门课程。
  
• 没有一门课程可以容纳30多名学生。
  
• 最大限度地提高学生的偏好。

第一个问题是将问题表达为线性程序（LP）。我的表述如下：

最大化，

必须遵守：

• 。
• 。
• 。

我的说法正确吗？

问题的第二部分如下：

假设我们有一个黑匣子可以解决“最小成本流”问题（https://en.wikipedia.org/wiki/Minimum-cost_flow_problem）。如何使用这个黑匣子解决我们的分配问题？

谢谢

致谢。

Answer 1

您的 I nteger 线性规划（ILP）公式并不完全正确，在您的最后一个约束中，您写道所有类都具有完全相同的30名学生，但这是不正确的，一个班级的学生不能超过30名。

因此，公式应类似于：

最大化 ∑ _ij x _ij p _ij
适用于：
∑ _j x _ij = 1，∀i
∑ _i x _ij ≤30，∀j

关于最大流，您可以将每个学生显示为网络中的一个节点，并且可以将每个班级显示为一个节点，例如对于四个学生和三个班级，图形如下所示：

这里 s 对学生 s _i 的容量为 1 ，因为每个学生都可以在最多的一个选择，所以 c（s，s _i ）= 1 。一间教室的容量为30，这意味着对于每个 c _j 类，它都认为 c（c _i ，d）= 30 。此外，每个 s _i 和 c _j 之间的容量也为1（尽管更大的容量不会使），所以 c（s _i ，c _j ）= 1 。

在这里，我们在 s _i 和 c _j 之间的边缘添加“ 成本” 等于 a（s _i ，c _j ）=-p _ij 鉴于收益较高，成本较低。其他边的成本为零，因此 a（s，s _i ）= a（c _j ，d）= 0 。因此，在这里，我们将分配流量（基于每个学生的容纳人数，这样一间教室的总流量少于30），并最小化成本，因此将 -p _{ij的总和最小化} 。给定一个流，使得从源 s 到每个学生 s _i 的流为1，那么我们可以给每个学生一个选择，总成本将得到优化。