Question

我正在尝试在精益中创建mergesort定义，并创建了以下代码：

{% extends "admin/change_list.html" %}
{% load staticfiles %}
{% block content %}
<div align="right">
    <form id="generate-form" method="POST">
        {% csrf_token %}
        <select>
            <option value="">-- section name --</option>
            {% for section in sections %}
            <option value="{{ section.short_name }}">{{ section.name }}</option>
            {% endfor %}
        </select>
        <input type="text" name="from_date" class="vTextField" placeholder="from">
        <input type="text" name="to_date" class="vTextField" placeholder="to">&nbsp;
        <input type="submit" value="Generate" class="default" id="gen-schedules"
        style="margin:0; height: 30px; padding-top: 5px;">
    <form>
</div>
{{ block.super }}
{% endblock %}

具有合并定义

def mergesort (a: ℕ): list ℕ → list ℕ     
    | [] := []    
    | [a] := [a]  
    | (x::xs) :=  merge (mergesort (fhalf xs)) (mergesort (sndhalf xs))

以及半/ sndhalf定义：

def merge : list ℕ → list ℕ → list ℕ    
    | xs [] := xs    
    | [] ys := ys
    | (x :: xs) (y :: ys) := if x < y then x :: (merge xs ( y :: ys)) 
                                      else y :: (merge (x :: xs) ys)

但是，我收到以下错误消息：

无法证明递归应用程序在减少，有充分的依据关系
 def fhalf {α: Type} (xs: list α): list α := 
    list.take (list.length xs/2) xs

def sndhalf {α: Type} (xs: list α): list α :=
    list.drop (list.length xs/2) xs
可能的解决方案：



在定义末尾使用@has_well_founded.r (list ℕ) (@has_well_founded_of_has_sizeof (list ℕ) (@list.has_sizeof ℕ nat.has_sizeof))关键字来指定用于建立良好关系并减少证明的策略。



默认的递减策略使用“假设”策略，因此可以使用“ have”表达式提供提示（即本地证明）。嵌套异常包含递减策略的失败状态。

有人可以帮助我证明合并排序正在减少吗？

Answer 1

首先，请注意mergesort的定义存在多个问题。第一，参数a是不必要的，永远不会使用。（第二行中匹配的a是新鲜的。）二，在x::xs情况下，您完全忘记了x。要查看函数的实际作用，可以像在meta中一样添加关键字meta def mergesort。这将禁用终止检查，因此您可以#eval mergesort 2 [1, 3, 2]并看到没有得到想要的东西。在您撰写本文时，我将继续回答。

有一个默认的有根据的关系，证明它的默认方法是在本地上下文中查找证明。通过查看定义中的错误消息，您可以看到Lean期望得到的证明：它需要list.sizeof (fhalf xs) < x + (1 + list.sizeof xs)和list.sizeof (sndhalf xs) < x + (1 + list.sizeof xs)的证明。因此，通过添加行

def mergesort (a : ℕ): list ℕ → list ℕ     
| [] := []    
| [a] := [a]  
| (x::xs) := 
  have list.sizeof (fhalf xs) < x + (1 + list.sizeof xs), from sorry,
  have list.sizeof (sndhalf xs) < x + (1 + list.sizeof xs), from sorry,
  merge (mergesort (fhalf xs)) (mergesort (sndhalf xs))

此策略将成功。您需要填写这些sorry。

使用linarith中可用的mathlib策略（通过import tactic.linarith），您可以跳过一些算法：

def mergesort (a : ℕ): list ℕ → list ℕ     
| [] := []    
| [a] := [a]  
| (x::xs) := 
  have list.sizeof (fhalf xs) ≤ list.sizeof xs, from sorry,
  have list.sizeof (sndhalf xs) ≤ list.sizeof xs, from sorry,
  have list.sizeof (fhalf xs) < x + (1 + list.sizeof xs), by linarith,
  have list.sizeof (sndhalf xs) < x + (1 + list.sizeof xs), by linarith,
  merge (mergesort (fhalf xs)) (mergesort (sndhalf xs))

因此，用证明替换那些sorry，您很高兴。您可能想证明类似

lemma sizeof_take_le {α} [h : has_sizeof α] : ∀ n (xs : list α), 
  list.sizeof (list.take n xs) ≤ list.sizeof xs

更正mergesort的定义后，详细信息将有所更改。

另一种方法是更改建立良好的关系和决策策略，就像mathlib定义中所做的那样：https://github.com/leanprover/mathlib/blob/master/data/list/sort.lean#L174 不幸的是，执行此操作的界面相当底层，我不知道它是否记录在何处。

要在不使用using_well_founded的情况下更改关系，可以添加一个使用list.length而不是list.sizeof的本地实例：

def new_list_sizeof : has_sizeof (list ℕ) := ⟨list.length⟩
local attribute [instance, priority 100000] new_list_sizeof

由此产生的目标比使用sizeof的目标更容易证明。

精益Mergesort使用日益完善的关系

1 个答案: