如果这些问题是NP完全问题，那么如何解决这些问题的多项式时间算法呢？

Question

我正在研究P，NP和NP-Complete问题，并且遇到了一些问题。

我知道，如果可以在多项式时间内解决问题，则问题为P；如果可以在多项式时间内验证问题，则问题为NP。我也了解，如果问题是NP，并且是NP-Complete，并且可以从现有的NP-Complete问题中减少。

我知道SAT，3-SAT，独立集，顶点覆盖，哈密顿循环，子集总和和旅行商都是NPC。但是我遇到一个问题，我被告知判断图形中是否存在5个顶点的独立集合实际上是多项式时间可解的，而不是NPC。然后这让我感到困惑，因为我认为独立集合问题就是NPC。

那么，这使我想知道，在什么情况下这些“ NPC”问题不是NPC，实际上是P？遇到问题时，如何确定问题是P还是NPC？如果该问题确实有可解决的时间问题，该怎么办，我只是无法解决该问题，因此沿NPC走了。我怎么知道我做错了？

Answer 1

找到图的最大独立集的问题是NP难的，就像旅行商问题一样。它们都是优化问题，并且都涉及枚举大于输入多项式的多项式的情况。

给定一个数字k和一个n顶点图，找到独立k顶点集的问题是一个单独问题，对于其中有一个多项式时间解。这不是优化问题。

该解决方案受以下事实限制：五个顶点最多有C(n, k)个子集，对于每个子集，您最多需要检查C(k, 2)个边。对于常数n，每个都是k中的多项式。

Answer 2

  

确定图形中是否存在5个顶点的独立集合实际上是多项式时间可解的

是的，确定/查找固定大小的独立组（或补充，找到cliques of fixed size）具有多项式时间的蛮力算法，通常类似于 n ^k ，其中 k 是固定大小-在您的情况下为 n ⁵ 。

但是，NP完全的决策问题是针对任意大小的，其中 k 属于算法的输入。然后变成指数时间。 parameterised complexity字段对此进行了进一步分析。

Answer 3

有一个类比可以帮助您考虑一下，尽管不是一回事。 有数学证明，您不能对小于O（n * log（n））的任意长度数组进行排序。但是，如果输入为“小”，或者您知道某些输入（例如，它仅包含k个字符），则可以使用O（n）算法使用其他方法更快地解决它（例如Redix）排序）。

当我们尝试推广问题时，由于我们以前对输入没有任何了解，因此事情变得更难（有时，NP-Complete会更难）。