计算大O表示法：2个嵌套循环的O（n ^ 4）和无递归的O（log n）

Question

自从我做了一些运行时复杂度近似练习以来，已经有一段时间了，我一直在努力将下面的例子包裹在网上找到的以下示例中（这些注释是我自己的）：

示例1：

for ( int i = 1 ; i <= n ; i++) { //n
  for ( int j = 1; j <= i*i ; j++) { // 1+2^2+3^2+...+n^2
    if ( j % i == 0) {
      for ( int k = 0 ; k < j ; k++ ){ // 1+2^2+3^2+...+n^2
        sum++;
       }
      }
     }
    }

解决方案表说它是O（n ^ 4），但我看不到它。我敢肯定我错过了一些东西，因为在我的评论中，我算出最坏的情况是O（n ^ 5）。

示例2：

i = 1 ;
L2 = -1;
while ( i <= n ) {
  i = i*2 ; // 2 + 2^2 + 2^3+ ...+ 2^n
  L2++;
}

提到的解决方案是O（log n）。我认为在最坏的情况下，我会得到2 ^ n <= n的东西，因此n <= log n。在这里，应用上界函数的典型定义（即f（n）<= O（g（x）））更为直观

我基本上想知道我错过了什么，以及应该为哪种情况找到正确的大O复杂度（特别是第一个示例）应该遵循哪些步骤/准则。 对于任何不清楚的细节，我深表歉意，并很高兴补充说明。 预先感谢，感谢您的见解！

Answer 1

示例1是O(n^5)，因为big-O是一个上限。它也是Theta(n^4)，因为if语句使最内层的循环仅每i个迭代运行，因此运行时间为Theta(n sum_{i=1}^n (i*i * 1/i * i*i)) = Theta(n^4)。

示例2为O(log n)。在第j次迭代中，i为2^j，而2^j > n的阈值为j > lg n。