Question

例如，表示Agda中的STLC可以通过以下方式完成：

data Type : Set where
*   : Type
_⇒_ : (S T : Type) → Type

data Context : Set where
ε   : Context
_,_ : (Γ : Context) (S : Type) → Context

data _∋_ : Context → Type → Set where
here  : ∀ {Γ S} → (Γ , S) ∋ S
there : ∀ {Γ S T} (i : Γ ∋ S) → (Γ , T) ∋ S

data Term : Context → Type → Set where
var : ∀ {Γ S} (v : Γ ∋ S) → Term Γ S
lam : ∀ {Γ S T} (t : Term (Γ , S) T) → Term Γ (S ⇒ T)
app : ∀ {Γ S T} (f : Term Γ (S ⇒ T)) (x : Term Γ S) → Term Γ T

（来自here。）但是，尝试使它适应构造微积分是有问题的，因为Type和Term是单个类型。这意味着不仅上下文/术语必须是相互递归的，而且术语必须在其自身上建立索引。这是一个初步尝试：

data Γ : Set

data Term : Γ → Term → Set

data Γ where
  ε   : Γ
  _,_ : (ty : Term) (ctx : Γ) → Γ
infixr 5 _,_

data Term where
    -- ...

但是，

Agda抱怨Term不在其初始声明的范围内。是否可以用这种方式表示，还是我们真的需要为Term和Type使用不同的类型？我非常希望在Agda中看到CoC的最低/参考实现。

Answer 1

这是一个非常棘手的问题。据我所知，尚无“最小”方式在Agda中编码CoC。您必须证明很多东西，或者使用浅层编码，或者使用诸如商数归纳法之类的沉重（但完全明智）的技术，或者先定义未键入的术语，然后再将它们分类为键入的术语。以下是一些相关文献：

Functional Program Correctness Through Types，尼尔斯·安德斯·丹尼尔森（Nils Anders Danielsson）-本文的最后一章是对依赖类型语言的形式化。这是大量的引子形式的形式化，并且还包含一些未键入的术语。

Type checking and normalisation，詹姆斯·查普曼（James Chapman）-本论文的第五章是依赖类型语言的形式化。这也是一种引理形式的形式化，除了许多引理只是对应数据类型的构造函数。例如，您可以将显式替换用作构造函数，而不是用作计算函数（先前的论文没有针对类型的替换，仅针对术语，而本论文甚至针对类型也具有显式替换）。

Outrageous but Meaningful Coincidences. Dependent type-safe syntax and evaluation，康纳·麦克布赖德（Conor McBride）-本文介绍了从属类型理论的深度编码，该理论对理论的浅层编码进行了修正。这意味着作者仅使用Agda的评估模型，而不是定义替代和证明属性，而是提供了目标语言的完整语法。

Typed Syntactic Meta-programming，Dominique Devriese，Frank Piessens –未键入的术语被归类为已键入的术语。当我查看IIRC时，代码中有很多假设，因为这是元编程的框架，而不是形式化。

Type theory eating itself?，Chuangjie Xu和Martin Escardo –单个文件的形式化。与往常一样，几种数据类型是相互定义的。显式传输的显式替换“模仿”了替换操作的行为。

EatEval.agda －我们通过结合前两种形式化的思想来实现这一点。在此文件中，我们没有定义多个显式传输，而是只有一个传输，可以将术语的类型更改为符号上相等的术语。即而不是通过构造函数来明确指定替换的行为，我们有一个单一的构造函数，上面写着：“如果在Agda中评估两种类型给出相同的结果，则可以通过构造函数将一种类型的术语转换为另一种类型的术语”。 >

Type Theory in Type Theory using Quotient Inductive Type，Thorsten Altenkirch和Ambrus Kaposi-这是我要说的最有希望的方法。它通过商类型设备在类型级别“合法化”计算。但是我们还没有Agda中的商类型，它们在本文中已基本假定。人们在商类型上做了很多工作（有一个完整的论点：Quotient inductive-inductive definitions – Dijkstra，Gabe），所以我们可能会在某个时候使用它们。

Decidability of Conversion for Type Theory in Type Theory，Andreas Abel，JoakimÖhman和Andrea Vezzosi – untyped terms的简称为typed ones。 Lots of properties。还具有大量的元理论证明和一个特别有趣的设备，该设备允许使用相同的逻辑关系来证明健全性和完整性。形式化是巨大的，并且得到了很好的评论。

艾格达（zip file with the development）中的扩展Martin-Löf类型理论的setoid模型，埃里克·帕姆格伦（Erik Palmgren）-摘要：

摘要。我们介绍了setoid的Agda形式化的详细信息 Pi，Sigma，扩展身份的Martin-Löf类型理论的模型类型，自然数和无限的宇宙罗素至关重要的成分是使用Aczel的V型迭代集作为类固醇的扩展宇宙，它允许行为规范的类型相等性解释。

Coq in Coq，Bruno Barras和Benjamin Werner-CC在Coq（the code）中的正式化。未类型化的术语被归类为类型+引理+元理论证明。

感谢AndrásKovács和James Chapman的建议。

您如何代表Agda中的CoC条款？

1 个答案: