Question

我在为Quicksort算法的某些实现定义和证明循环不变式时遇到麻烦。这既不是Lomuto也不是Hoare的分区版本。

如果您知道以这种方式实现的某些已知版本的Quicksort，请告诉我。

算法在Python中的实现：

def partition(arr: list, p: int, r: int):
    y = arr[p]
    i = p
    j = r + 1

    while i < j:
        i = i + 1

        while i <= r and A[i] < y:
            i = i + 1

        j = j - 1

        while j >= p and A[j] > y:
            j = j - 1

        if i <= j:
            swap(arr, i, j)

    swap(arr, j, p)

    return j


def quicksort(arr: list, p: int, r: int):
    if p < r:
        q = partition(arr, p, r)
        quicksort(arr, p, q - 1)
        quicksort(arr, q + 1, r)


def swap(arr: list, i, j):
    tmp = arr[i]
    arr[i] = arr[j]
    arr[j] = tmp

我设法定义了以下循环不变式（可能不正确）：

在while循环的每次迭代开始时，对于数组k中的每个索引A：



如果k = p，那么A[k] = y



如果p < k <= i，那么A[k] < y



如果j <= k <= r，那么A[k] > y

请帮助我为while方法中的partition()循环定义一个循环不变式（如果以上内容不正确），并证明这一点。

Answer 1

外部 while 的不变量表示，在到目前为止已扫描的数组部分中，即范围<tr> <td><input type="button" value="p"></td> <td><input type="button" value="c"></td> <td><input type="button" value="/c"></td> <td><input type="button" value="s"></td> <td><input type="button" value="/s"></td> <td><input type="button" value="l"></td> <td><input type="button" value="u"></td> <td><input type="button" value="t"></td> <td><input type="button" value="tr"></td> <td><img id="glyphImage" src="si-glyph-image.svg"></td> </tr>和A[p..i]中，左元素为不大于枢轴，右元素不小于。（当然， A 的内容是初始内容的排列。）

退出循环时，所有左侧元素都不大于所有右侧元素，因此A[j..r]被分区。

QuickSort分区的循环不变式

1 个答案: