是否可以不借助其他经典法则来证明“ implies_to_or-> de_morgan_not_and_not”？

Question

Theorem implies_to_or_to_de_morgan_not_and_not : 
  implies_to_or -> de_morgan_not_and_not.
Proof.
unfold implies_to_or, de_morgan_not_and_not, not.
intros.
Admitted.

1 subgoal
H : forall P Q : Prop, (P -> Q) -> (P -> False) \/ Q
P, Q : Prop
H0 : (P -> False) /\ (Q -> False) -> False
______________________________________(1/1)
P \/ Q

这是来自SF Logic章节末尾的5星练习。

我已经针对这个特定问题投入了太多时间了，所以我真的不得不问一下。我已经证明了excluded_middle <-> peirce，peirce <-> double_negation_elimination，double_negation_elimination <-> de_morgan_not_and_not，implies_to_or <-> excluded_middle，de_morgan_not_and_not -> implies_to_or，所以我已经涵盖了除所有路径之外的所有内容。对我来说，这只会使这个问题更加令人困惑，而且我不明白为什么我什至无法把这个证据付诸实践。

不知何故，这里没什么用。

一种选择是做exfalso并尝试从那里做某事，但这会抛弃P \/ Q目标，即使我怀疑我也会丢失太多信息可以取得一些进展。

另一种选择是尝试破坏H，但是在这种情况下，存在一个试图证明P -> Q而又没有任何可用前提的问题。

在过去的一周中，我在练习时遇到了麻烦，并且设法克服了这些麻烦，但是我没有足够的经验，只能在没有寻求建议的情况下撒谎。我到底在这里没看到什么？

很显然，我不想将de_morgan_not_and_not转换为其他 更容易解决古典法（例如排除在外的中间法则），因为这很重要。

Answer 1

由于Software Foundations一书明确要求不要发布解决方案，所以让我给出一个提示。

请注意，假设H在其所涉及的两个命题中都是普遍量化的。 这意味着您可以为P和Q提供甚至所有相同的任何命题。基本上，这种观察使您可以经典地推理，足以解决此问题。

Answer 2

您是否有特定的原因不想使用其他证明来证明这一点？避免使用您无条件为真的结果是相当人为的。

通过使用de_morgan_not_and_not对implies_to_or和P进行案例分析，可以避免操纵Q（请参阅implies_to_or -> excluded_middle的证明）。然后，您需要查看四种情况，所有四个最终目标都是简单的1-3行证明。