我只是从Coq开始，现在想证明“ Little Prover”中的某些内容。 我遇到的定理之一是：
Theorem equal_swap : forall (A: Type) (x:A) (y:A),
(x = y) = (y = x).
但是，我无法证明这一点。我尝试找出如何用eq_sym重写方程式的右侧，但是我无法将其仅应用于目标的一个表达式。
我将如何证明这个定理？
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Coq普遍使用的一件事是“命题作为类型”的概念。直观上，类型是对象的集合。那么这些收藏的元素是什么？他们是证明。可证明的命题是包含元素的类型，不可证明的命题是不包含证明的类型。
因此a = b是一种类型的证明，而b = a也是一种类型的证明，但是它们不能证明相同的陈述。 Coq中逻辑的目的是关于语句非常精确。我们可以说a = b和b = a是相同的吗？好吧，从某种意义上讲它们不是。如果我的目标形式为C(a, b)，并且用a = b的证明重写，那么我得到C(a, a)；如果我用b = a的证明重写，那么我得到{ {1}}，这两个看起来不一样。一个使自己辩称它们是相同的（因为假设C(b, b)和a是相同的），但也有人可能辩称它们是不相同的（因为您使用的方式不同） ）。
在设计类似Coq的逻辑系统时，即使您不尝试讨论命题之间的相等性，而专注于仅使用命题之间的等效性，您也可以做很多逻辑。因此，人们试图在平等概念中添加最少的属性。特别是，类型之间的相等性一无所有。您将看到，在讨论一阶数据之间的相等时使用相等是实用的，在谈论高阶数据（例如函数之间的相等）时，它不太方便，而在讨论类型之间的相等时，它很尴尬。
另一方面，如果他们想研究两个命题之间的关系，他们只会尝试检查一个命题是否隐含着另一个命题，如果想要更精确一点，他们会尝试查看它们是否相互暗示。出于大多数实际目的，这已经足够了，我建议您只要坚持自己是初学者，就坚持这一纪律。
在这里，我们可能要证明b。如果我们使用战术来证明这一点，那么a = b -> b = a将帮助我们为intro命名（例如a = b），而H将有助于我们转变{{1} }插入rewrite H。现在，最后的证明可以通过反射来完成。但是当我说将b = a转换为a = a时。我只是说b = a有一个证明，换句话说，“有一个函数，当输入a = a作为证明时，它会产生a = a -> b = a证明作为输出。一个证明，我们的印象是a = a的证明在保持相同的同时被转换为b = a的证明，但事实并非如此：这里观察到两个不同的证明。
最后，a = a只是b = a和(a = b) <-> (b = a)的和。 (a = b) -> (b = a)策略也得到了扩展，因此您也可以用一个定理来重写它是等价的，而不是等价的。