费马小定理和SICP​​实现之间的对应关系是什么？

Question

程序的结构和解释因此定义了费马小定理：

  

如果n是素数，并且a是小于n的任何正整数，则   升到n的幂等于模n。

     

（如果两个数字都具有   相同的余数除以n。 a除以n的余数   也称为模n的余数，或简称为模   

基于该描述，我编写以下代码：

(define (fermat-test a n) 
  (congruent? (expt a n) a n))

(define (congruent? x y n) 
  (= (modulo x n) 
     (modulo y n)))

后来SICP这样说：

  

这将导致以下算法测试素数：给定一个   数n，选择一个随机数a

并给出以下代码：

(define (fermat-test) 
  (define (try-it)
    (= (expmod a n n) a))
  (try-it (+ 1 (random (- n 1)))))

(define (expmod base exp m) 
  (cond ((= exp 0) 1) 
        ((even? exp) 
          (remainder (expmod base (/ exp 2) m) m)) 
        (else 
          (remainder (* base (expmod base (- exp 1) m)) m))))

其中expmod是“一个计算以另一个数为模的数字的指数的过程”。

我不理解这段代码与费马定理的第一个定义之间的对应关系。我知道“加到n的幂等于模n”是：a^n modulo n = a modulo n。但是SICP的代码似乎暗示a^n modulo n = a。 fermat-test过程中的条件不包括a modulo n。当然，它们的实现有效，所以我一定会误会。

请注意，这并不是对递归与迭代过程的混淆。

Answer 1

测试中的条件具有a而不是a modulo n，因为如果a < n则a modulo n 是 a，因此modulo n是多余的。

他们真正测试的是n是Fermat pseudoprime。它不能作为对素数的全面测试（并且SICP并不声称可以这样做），但是该测试中涉及的思想最终导致了完全实用的Miller-Rabin test。

Answer 2

（exp n a）将计算非常大的数字

（expmod a n n）将计算一个介于0到n之间的数字

这两个值将是一致的（模n）。

使用expmod的原因是通过使用它可以使fermat-test更快。 fermat-test函数将以两种方式给出相同的结果。