大问题 - 算法分析II

Question

我正在做一个问题，要求找到使用大O表示法简化的嵌套for循环的复杂性。

问题是：

for i <- 1 to n do
    for j <- 1 to n do
        for k <- 1 to (i+j) do
            a unit cost operation

我必须使用系列符号的总和来证明上述内容。我有点理解这个概念并给了它一个裂缝。我只是想知道我是否正确地做到了。

以下是我的回答：

**假设sum（x = i，y）是大写sigma表示法，x为下界，y为上界。

=＆GT; sum（i = 1，n）sum（j = 1，n）sum（k = 1，i + j）1
=＆GT; sum（i = 1，n）sum（j = 1，n）（i + j）
=＆GT; sum（i = 1，n）n * i =＆GT; n * sum（i = 1，n）i

在算术系列之和的规则中给出： =＆GT; N * N / 2（N + 1） =＆GT; （n ^ 3 + n ^ 2）/ 2

使用大哦规则 - ＆gt; max（f（x），g（x））： =＆GT; max（n ^ 3/2，n ^ 2/2） =＆GT;为O（n ^ 3）

我知道答案是正确的，但不确定我之前的计算是否......

Answer 1

稍作修正：

  sum(i=1, n) sum(j=1, n) sum(k=1, i+j) 1
= sum(i=1, n) sum(j=1, n) (i+j)
= [ sum(i=1, n) sum(j=1, n) i ] + [ sum(i=1, n) sum(j=1, n) j ]
=   sum(i = 1, n) n*i           +   sum(i=1, n) n*(n+1)/2 
=   n * sum (i = 1, n) i        +   n * n * (n+1) / 2
=   n * n * (n+1) / 2           +   n * n * (n+1) / 2
=   n * n * (n+1)
=   n^3 + n^2
=   O( max(n^3, n^2) )           <--- as you correctly say
=   O(n^3)

实际上，它是Θ(n^3)

---

您也可以使用i+j <= 2*n：

   sum(i=1, n) sum(j=1, n) sum(k=1, i+j) 1
=  sum(i=1, n) sum(j=1, n) (i+j)
<= sum(i=1, n) sum(j=1, n) 2*n
=  2*n * sum(i=1, n) sum(j=1, n) 1
=  2 * n^3
=  O(n^3)

Answer 2

直截了当地（经验证实），c - ＆gt; 单位成本操作：