有关JavaScript Math.random（）和基本逻辑的问题

Question

我写了一段简单的代码来比较随机数组的差异，发现了一些我不太了解的东西。

1. 我生成2个充满随机数的数组
2. 求和随机数之间的差异
3. 打印出平均差异

我希望结果是接近0.5的随机数，但实际上是0.3333。

为什么随机数数组位于0.3而不是0.5上？

const result = document.getElementById('result');
const generateRandomNrArray = (nrNumbers) => {
	let i;
	let result = [];
	for (i = 0; i < nrNumbers; i++) {
		result.push(Math.random());
	}
	return result;
}
const getArrayDiff = (arr1, arr2) => {
  var diff = 0;
  arr1.forEach(function (v1, index) {
      diff += Math.abs(v1 - arr2[index]);
  });
  return diff;
}
const run = (nr) => {
  const arr1 = generateRandomNrArray(nr);
  const arr2 = generateRandomNrArray(nr);
  const totalDiff = getArrayDiff(arr1, arr2); 
  
  result.innerHTML = "Average difference:" + (totalDiff / nr);
}

button {font-size: 2em;}

<div id="result"></div>
<button id="run" onclick="run(1500)">Click Me</button>

Answer 1

这基本上可以归结为一个极限，这是有道理的。考虑一下0到10之间的数字组合，并计算可以产生的各种差异。

例如，存在一种组合，两者相差9 —（0，9）。一共有5个，相差5：

[0, 5],  
[1, 6], 
[2, 7], 
[3, 8], 
[4, 9]

但是有九种组合，它们之间的差异为1：

[1, 2], 
[2, 3], 

... 
[8, 9]

0-10的计数是：

{1: 9, 2: 8, 3: 7, 4: 6, 5: 5, 6: 4, 7: 3, 8: 2, 9: 1}

有45种组合，并且这些组合的平均差异为3.6666而不是5，因为差异要大得多。

将粒度从0-10增加到0-100时，将保持相同的模式。对于平均33.6666，有99个组合产生的差为1，只有50个产生的差为50。

当您在相反的方向上增加有效位数时，在相反的方向上用0和1之间的细度进行越来越精细的划分，您会发现与极限接近1/3的过程相同。将平均差异拉低的差异要比较大的差异小得多。对于0-1，每隔0.1个间隔，您会看到9个相差0.1，而5个相差0.5，在0.01时会有99个相差0.01，而50个相差0.5。随着间隔接近0，差的平均值接近1/3。

Answer 2

（事实上，您不是在看差异，而是看您的随机数之间的绝对差异。两者之间存在差异。（请原谅双关语））

如果您有两个独立的均匀分布的随机变量X, Y ~ U[0,1]，则它们的绝对差|X-Y|将跟随triangular distribution，其期望值为1/3。一切都应有。这种分布结果以及计算期望值，是概率论中相当标准的作业问题。直觉紧随Mark's argument之后。

以下是绝对和非绝对差的直方图。在左侧，您会看到较小的绝对差值会有更多的质量，从而将期望值拉低了。

R代码：

set.seed(1)
xx <- runif(1e5)
yy <- runif(1e5)
par(mfrow=c(1,2))
hist(abs(xx-yy),main="|X-Y|",col="grey",xlab="")
hist(xx-yy,main="X-Y",col="grey",xlab="")

（顺便说一下，如果您有概率/统计问题，我们的姊妹网站CrossValidated是一个很好的资源。）

Answer 3

这里有一个几何论证来说明为什么结果收敛到1/3。

首先，让我们定义f（x，y）= abs（x-y）。我们需要证明的是，对于X和Y是在[0，1]中均匀分布的两个独立随机变量，E（X，Y）= 1/3。

如果我们将函数f可视化为3D，则为正方形[0，1] x [0，1]上的高度场，则f下的体积由两个四面体组成，它们的底是一个半单位正方形，其四面体为高度是单位高。

E（X，Y）是f下的体积。通过金字塔体积公式，两个四面体中的每一个都具有体积a * h / 3，其中a是其基本面积，h是其高度。这意味着每个四面体的体积为1/2 * 1 * 1/3 = 1/6，因此E（X，Y）= 2 * 1/6 = 1/3。

Answer 4

有一种简单自然的方法可以查看：

如果您有一个间隔，比如说<0.0, 1.0>，并且从间隔中随机选择一个数字，那么您实际上会将间隔分为<0.0, x>和<x, 1.0>两部分。 每个部分的平均大小（许多随机数）将收敛到0.5。

现在，如果您从间隔中选择两个随机数，则会将间隔分为<0.0, x>，<x, y>和<y, 1.0>（x < y）三个部分。如果您通过多个随机数计算出每个零件的平均尺寸，它将收敛到1/3。

两个数字之间的平均差是零件的平均大小。

（最初是评论）

Answer 5

采用离散变量方法

将间隔[0; 1]细分为N个元素（resp k = 1到N，X将取值k/N）。稍后，我们将使N趋于犯规

对于给定的X_k（其中X保持值为k/N），计算平均距离，由给出

avgDistance(k) = sum_{i=1}^k (k-i)/N P(Y=i) + sum_{i=k+1}^n (i-k)/N P(Y=i)

当y

第一项将0和k之间的距离求和1/N(k(k+1)/2)，而第二项将1和N-k之间的距离求和1/N(N-k)(N-k+1)。 此外，P(Y=i) = 1/N用于所有i（因为Y是均匀分布的）

因此

avgDistance(k) = 1/N^2 [ k(k+1)/2 + (N-k)(N-k+1)/2 ] = 1/(2N^2) [ 2k^2 + N^2 - 2kN + N ]

最后

avgDistance = sum_{k=1}^N avgDistance(k) P(X=k) = 1/N sum_{k=1}^N avgDistance(k) = 1/(2N^3) sum [ 2k^2 + N^2 - 2kN + N ]

想法是简化总和，例如aN ^ 3 + ...小于N ^ 3的项，因此，当N趋于笨拙时，我们将简单地得到aN ^ 3 /（2N ^ 3）+趋于0 < / p>

sum 2k^2 = 2(N(N+1)(2N+1))/6 ~ 4N^3/6
sum N^2 = N^3
sum -2kN = -2N(N(N+1)/2 ~= -N^3

因此a = 4/6和avgDistance = 1/3