查找集合中最小子集的算法

Question

我想提取一个数据框的最小行数以覆盖某些列的所有元素。 这是示例：

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条件： 新数据框的清单1封面（a，b，c）；新数据框的清单2封面（alpha，beta，delta，gamma）；新数据框的project_id封面（proj1，proj2，proj3）；

解决方案：

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我试图通过枚举解决此问题。最后，我放弃了这种方法进行大量计算。

Answer 1

此问题是众所周知的set cover problem的变体。
由于此问题是NP完全问题，因此，如果输入不是很小，则找到最佳解决方案（意味着最小的元素数量，在您的情况下为行，它将覆盖所有值）可能会花费大量时间。换句话说，关于输入大小（O(2^n)，行n，行数或多或少），此问题的复杂度是指数级的。

但是不要失去希望，有一些方法可以让您在输入很小的情况下找到最佳解决方案，或者在输入很大的情况下找到令人满意的近似值。所谓小输入，是指行数量大约在100左右的行数。

Branch and bound：该算法或多或少是蛮力的“灵巧”方式，其运行速度比蛮力算法快得多。它可以找到一个最佳解决方案（给定足够的时间，如果输入很大，那么足够的时间可能意味着一百万年），或者可以停止并返回到目前为止找到的最佳解决方案。我不建议您采用这种方法，但是您一定要阅读它，它是一种非常有效且用途广泛的算法，必须知道。

Integer Linear Programming：恕我直言，这是解决此问题的最佳方法。 ILP允许您将程序编写为整数线性程序，然后将其馈送到ILP求解器（市场上有很多产品，无论有无免费，您都可以找到列表here）。如果您从未听说过线性编程，可以看看here进行一些解释。
这种方法有两个BIG优点：

• 编写一个可以解决设置覆盖问题的ILP程序非常容易，如您所见here（最多十二行）。
• ILP求解器非常非常优化，专门针对解决此类问题而编写。如果您输入的内容少于1000行，则应该找到最佳解决方案。而且，无论如何，它将找到比几乎任何程序都更好的解决方案。至少比花不到一周的时间编写一个程序更好的解决方案。

总是有可能使用贪婪算法，但是集合覆盖问题不能通过多项式时间算法来近似（这是对事实的过度简化，但是在我们的情况下，我们想解决一个问题设定封面的实例，不能证明P = NP或无法处理唯一的游戏猜想）。因此，贪婪算法的结果可能会比最佳解决方案无限差。而且，它的运行速度仅比令人难以置信的更好的ILP求解器快。