如何验证一组4个点已进行仿射变换

Question

我有两个包含四个角的相同对象的图像。
我对图像之间的这四个点有对应关系。
让我们称这些点为A，B，C，D。
我在图像1和图像2中具有A的（x，y）坐标。
类似地，针对B，C，D点。
我的目的是验证是否存在满足这4个点的坐标变化的仿射变换。
我应该如何进行？
如果在python或c中有代码，这将是有益的，这样我可以快速验证许多图像。
我的理解是一般仿射变换可以用
描述 x'= ax + by + c
y'= dx + ey + f
所以有六个未知数。
感谢您的阅读。

Answer 1

让我们说您的观点是A =（x1，y1）; B =（x2，y2）; C =（x3; y3）;在图像1中D =（x4，y4）和A'=（x1'，y1'）; B'=（x2'，y2'）; C'=（x3'; y3'）;图片2中的D'=（x4'，y4'）。

您已经发现找到仿射变换需要您找到六个未知数。要找到它们，只需写下线性方程组并求解：

x1' = a x1 + b y1 + c
y1' = d x1 + e y1 + f
x2' = a x2 + b y2 + c
y2' = d x2 + e y2 + f
x3' = a x3 + b y3 + c
y3' = d x3 + e y3 + f
x4' = a x4 + b y4 + c
y4' = d x4 + e y4 + f

您实际上可以将其分为两个线性方程组：

x1' = a x1 + b y1 + c
x2' = a x2 + b y2 + c
x3' = a x3 + b y3 + c
x4' = a x4 + b y4 + c

和

y1' = d x1 + e y1 + f
y2' = d x2 + e y2 + f
y3' = d x3 + e y3 + f
y4' = d x4 + e y4 + f

由于您仅对是否存在仿射变换感兴趣（而不对a，b，c，d，e，f本身的值感兴趣），因此只需确定这两个线性方程组是否具有a解决方案。

Rouché–Capelli定理告诉我们，当且仅当rank的coefficient matrix等于augmented matrix的秩时，线性方程组才有解。 / p>

在您的情况下，两个线性方程组的系数矩阵为

| x1 y1 1 |
| x2 y2 1 |
| x3 y3 1 |
| x4 y4 1 |

第一个线性方程组的扩充矩阵为

| x1 y1 1 x1' |
| x2 y2 1 x2' |
| x3 y3 1 x3' |
| x4 y4 1 x4' |

对于第二个线性方程组是

| x1 y1 1 y1' |
| x2 y2 1 y2' |
| x3 y3 1 y3' |
| x4 y4 1 y4' |

现在计算这三个矩阵的秩（例如，使用numpy.linalg.matrix_rank），如果它们相等，则存在仿射变换。