在椭圆内均匀分布n个点

Question

如何在给定n及其短轴长度（可以假定长轴为x轴且大小为1）的椭圆内均匀分布n个点？或者，如果那不可能，那么如何选择n个点，以使任意两个点之间的最小距离最大化？

现在，我对运行昂贵的电子排斥模拟器感到不安（希望有一个更好的解决方案，例如this question中的向日葵函数，以便将n个点分布在一个圆中）。 n最有可能在10到100点之间，但是如果它对所有n都有效，那将是很好的。

Answer 1

相当简单的方法：

使D距离近似为D=Sqrt(Pi*b/N )的初始值，其中b是短轴长度。

生成像元大小为D的点的三角形网格（带有等边三角形，以提供最密集的堆积）。计数给定椭圆内的点的数量。

如果它小于N，则将距离D减小，将其增大-将D增大。重复直到恰好有N个点在内部。

依赖性CountInside <=> D是固定起点的单调，因此您可以使用二进制搜索更快地获得结果。

在边界附近可能会有2-4个对称点的复杂情况-当它们同时出入或进入内部时。如果遇到这种情况，请稍微移动起点。

Answer 2

如果椭圆以(0,0)为中心，如果a=1是长半径，b是短半径，并且主轴是水平的，则椭圆的方程为{{ 1}}，其中x' A x = 1是矩阵

A

现在，这是一种使用公式 / \ | 1 0 | | 0 1/b² | \ / 在椭圆内部进行均匀采样的方法。取x' A x = r的上三角Cholesky因子，说A。在这里，U就是

U

在以 / \ | 1 0 | | 0 1/b | \ / 为中心且半径为y的圆上均匀地随机选择一个点(0,0)。然后r是在椭圆中均匀随机选取的点。

此方法不仅在二维情况下（用“超球面”替换“圆”），还可以在任意维度上使用。

因此，对于我们目前的情况，这里是伪代码，假设x = U^{-1}y统一生成0到1之间的数字。

random()

这是一个R代码，用于生成R = sqrt(random()) theta = random() * 2 * pi x1 = R * cos(theta) x2 = b * R * sin(theta) 点：

n