在贤哲数学中计算柯西积分

Question

对于复杂的分析我还是比较陌生，我正在尝试在Sage Math中写下以下积分：

如果S（m，n）是形式幂级数=（1-t ^ 2）^ m /（1-t）^ n，则柯西积分为：

I(k) = 1/2ipi * int_o(S(m,n)t^(k+1) dt)

这是来自可以在以下位置找到的论文： http://magali.bardet.free.fr/Publis/ltx43BF.pdf 轮廓是围绕原点的圆，半径小于1。

柯西积分将产生$ S（n）$的第k个系数。我尝试执行以下操作：

def deg_reg_Cauchy(k, n, m):
    R.<t> = PowerSeriesRing(CC, 't')
    constant_term = 1/(2*I*pi)
    s = (1-t**2)**m / (t**(k+1)*(1-t)**n)
    s1 = constant_term * s.integral()
    return s1

我意识到这可能 非常 错误。请问有人对此有任何建议吗？

ArithmeticError: The integral of is not a Laurent series since t^-1 has a nonzero coefficient.

谢谢！

Answer 1

您可能必须参数化您的集成域（此处为圆圈）。或使用柯西残差定理，如here。

Here is an interesting Sage cell instance by Jason Grout and Ben Woodruff可能会帮助您开始计算其中的一些；不幸的是，有时这些积分很难精确地完成。参见this sage-support thread可以找到一个更简单的示例，尽管最终由于Maxima错误，我认为它不能完全正常工作。

相关代码：

f(x,y)=9-x^2-y^2
r(t)=(2*cos(t), 3*sin(t))
trange=(t,0,2*pi)

ds=r.diff(t).norm()
dA=f(*r(t))*ds(t)

def line_integral(integrand):
    return RR(numerical_integral(integrand, trange[1], trange[2])[0])

A = line_integral(dA)
integrate(dA, trange)

最后两行分别得出数值和精确（如果可能）的结果。