Question

在我的特定情况下，图表被表示为邻接列表，并且是无向和稀疏的，n可以是数百万，d是3.计算A ^ d（其中A是邻接矩阵）并挑选出非零条目有效，但我想要一些不涉及矩阵乘法的东西。对每个顶点进行广度优先搜索也是一种选择，但速度很慢。

Answer 1

def find_d(graph, start, st, d=0):

    if d == 0:
        st.add(start)
    else:
        st.add(start)
        for edge in graph[start]:
            find_d(graph, edge, st, d-1)

    return st

graph = { 1 : [2, 3],
      2 : [1, 4, 5, 6],
      3 : [1, 4],
      4 : [2, 3, 5],
      5 : [2, 4, 6],
      6 : [2, 5]
    }

print find_d(graph, 1, set(), 2)

Answer 2

假设我们有一个函数verticesWithin(d,x)，可以找到顶点d距离x内的所有顶点。

这个问题的一个好策略是揭示缓存/记忆机会，就是问一个问题：这个问题的子问题如何相互关联？

在这种情况下，我们可以看到verticesWithin(d,x) d >= 1 vertices(d-1,y[i])是范围内所有i y=verticesWithin(1,x)的联合，d == 0。如果{x}则只是d == 1。（我假设一个顶点被认为与自身的距离为0。）

实际上，您需要查看案例x的邻接列表，而不是使用该关系，以避免无限循环。您还希望避免将y本身视为verticesWithin(d,x)成员的冗余。

此外，如果d的返回类型从简单列表或集合更改为x集合列表，表示距verticesWithin(d,x) = init(verticesWithin(d+1,x))的距离越来越远，则

init

其中verticesWithin是产生列表中除最后一个元素之外的所有元素的函数。显然，如果将字面转换为代码，这将是一个非终止的递归关系，所以你必须对你如何实现它有点聪明。

配备子问题之间的这些关系，我们现在可以缓存{{1}}的结果，并使用这些缓存的结果来避免执行冗余遍历（虽然以执行某些设置操作为代价 - 我并非完全确定这是一场胜利）。我将把它作为练习来填写实施细节。

Answer 3

您已经提到了计算A^d的选项，但这远远超出您的需要（正如您已经说过的那样）。

然而，有一种更便宜的方式来使用这个想法。假设您有一个零（1）的零（1）}向量v，表示一组顶点。向量w := A v现在在每个节点都有一个，只需一步即可从起始节点到达。迭代，u := A w对于您可以在两个步骤中从起始节点到达的每个节点都有一个，等等。

对于d=3，您可以执行以下操作（MATLAB伪代码）：

v = j'th unit vector
w = v
for i = (1:d)
   v = A*v
   w = w + v
end

向量w现在每个节点都有一个肯定条目，可以在j个步骤中从d节点访问。

Answer 4

在这种情况下，从给定顶点开始的广度优先搜索是最佳解决方案。你会发现距离d内的所有顶点，你甚至都不会访问任何距离为＆gt; = d + 2的顶点。

这是递归代码，尽管通过使用队列可以很容易地完成递归。

// Returns a Set
Set<Node> getNodesWithinDist(Node x, int d)
{
  Set<Node> s = new HashSet<Node>();  // our return value
  if (d == 0) {
    s.add(x);
  } else {
    for (Node y: adjList(x)) {
       s.addAll(getNodesWithinDist(y,d-1);
    }
  }
  return s;
}

对于图形中的每个顶点，找到距离d内的所有顶点

4 个答案: