Question

我需要将n个元素划分为k个组，这些组的总和都相同。

例如：

我有一个从1到99 [1、2、3、4、5 ...]的数字列表，我需要将该列表分成3组。每个组的所有元素的总和必须相等。在此示例中，n = 99，k = 3。

什么是有效且优雅的算法来实现这一目标？我只是在要求使用算法建议；我不想解决。

Answer 1

让我先澄清一下：当您说想要一种算法，但没有解决方案时，我必须假设您的意思是您想要一种能够为k=3提供解决方案的算法，并且n任何正整数。

我相信只要n >= 5或n被3整除，这个问题就可以解决所有n+1的问题。

这是因为总和1 + ... + n等于n*(n+1)/2，当且仅当n或n+1可以被3整除时，总和才能被3整除。

假设n满足这些条件，该算法将如下所示。

让s = [n*(n+1)/2]/3。

按递减顺序m找到数字n, n-1, n-2, ...,，这样

n + (n - 1) + (n - 2) + ... + m  <=  s  <  n + (n - 1) + (n - 2 ) + ... + m + (m - 1).

让h = s - [n + (n - 1) + (n - 2) + ... + m]。

然后h + [n + (n - 1) + (n - 2) + ... + m] = s，我们有了第一笔款项。

请注意，根据m的获得方式，可以保证h处于递减序列m-2, m-3, ..., 1,中，因此可用于我们的第一个和。

我们现在发现降序m-1, m-2, ..., h+1, h, h-1, ..., 1,中的数字q使得

m + (m - 1) + (m - 2) + ... + q  <=  s  <  m + (m - 1) + (m - 2) + ... + q + (q - 1),

请记住，这些金额可能包括h+1或h-1，但不 h。 我是在此处滥用总和的符号约定。

这是毛茸茸的地方。

我猜想数字p = s - [m + (m - 1) + (m - 2) + ... + q]是原始序列剩下的数字（未使用），但是我不会证明这一点。（正如他们所说的，为读者提供锻炼。）

然后p + [m + (m - 1) + (m - 2) + ... + q] = s,，我们有了第二笔款项。

（同样：数字h可能不与[m + (m - 1) + (m - 2) + ... + q]之和。）

最后一个总和是原始序列中剩下的所有剩余数字的总和。

例如（嗯，是的，是解决方案---但仅出于说明目的...）：

1 + ... + 99 = 99*100/2 = 3*550
             = (99 + 98 + 97 + 96 + 95 + 65)
             + (94 + 93 + 92 + 91 + 90 + 89 + 1)
             + (88 + ... + 66 + 64 + ... + 2).

此处n = 99，m = 95，h = 65，q = 89和p = 1。

将n个元素划分为k个组，并且这些组的总和必须相同

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