Question

我目前正在尝试使用OpenModelica模拟声谐振器，我想知道如何稳健/精确地计算其谐振频率。

作为一个简化的示例（没有Media等），我实现了一个双亥姆霍兹共振器，实质上是通过管道（惯性）连接的两个体积（合规）。实际的系统由连接在一起的更多组件组成。压力和体积流量（均为复数值）的振荡遵循正弦表达式，并具有共振角频率w。对于4个压力和4个体积流量（在端点和依从度-惯性连接点），这产生了8个方程。

这是我每晚在OpenModelica中解决的Modelica代码：

model Helmholtz_test "Simple test of double Helmholtz resonator"
  constant Complex j = Modelica.ComplexMath.j;
  ComplexU U_a, U_b, U_c, U_d "Oscillating volume flow rate";
  ComplexPressure p_a, p_b, p_c, p_d "Oscillating pressure";
  Modelica.SIunits.AngularFrequency w(start=2000, fixed=false);
  Compliance C = 7.14e-9;
  Inertance L = 80;
initial equation
  p_a.re = 1e+2; //Simulation finishes, values reasonable, only during initialisation we get:
  //Matrix singular!
  //under-determined linear system not solvable!
  //The initialization finished successfully without homotopy method.
equation
//BCs on ends
  U_a = Complex(0);
  U_d = Complex(0);
//Left compliance a-b;
  p_a = p_b;
  p_a = -1 / (j * w * C) * (U_b - U_a);
//Inertance b-c
  U_b = U_c;
  p_c - p_b = -j * w * L * U_b;
//Right compliance c-d
  p_c = p_d;
  p_c = -1 / (j * w * C) * (U_d - U_c);
//Additional condition for Eigenvalue
  der(w) = 0;
//w^2 = 2/(L*C); //The "real" resonance frequency
  annotation(
    experiment(StartTime = 0, StopTime = 1, Tolerance = 1e-06, Interval = 0.002));
end Helmholtz_test;

带有其他定义

operator record ComplexPressure =
  Complex(redeclare Modelica.SIunits.Pressure re,
           redeclare Modelica.SIunits.Pressure im)
  "Complex pressure";

operator record ComplexU = 
  Complex(redeclare Modelica.SIunits.VolumeFlowRate re,
           redeclare Modelica.SIunits.VolumeFlowRate im)
  "Complex volume flow rate";

type Compliance = Real(final quantity = "Compliance", final unit = "m3.Pa-1");

type Inertance = Real(final quantity="Inertance", final unit="kg.m-4");

在纸上计算，系统得出的共振角频率为w=\sqrt{\frac{2}{LC}}（在这种情况下为〜1871 1 / s），系统具有非零解。

为避免求解器进入零的无趣解决方案，我必须在一点上添加一些刺激，因此需要初始方程p_a.re = 1e+2。

现在，为了模拟这一点，由于w是一个附加变量，我需要引入一个附加方程，选择der(w) = 0; ，因为在此谐振频率是恒定的案件。不幸的是，这使得不可能进入更复杂/更现实的情况，在该情况下谐振频率随时间变化，例如，谐振频率随时间变化。温度或其他变化值。

问题1：是否有更好的方法为共振频率提供附加方程式/计算系统的本征值？

此外，模拟的成功取决于初始刺激的值（在某些范围内，此操作将失败或在每个时间步长上我都得到奇异的方程式）。同样，实际上，该问题在初始化阶段已得到解决。在最好的情况下，我得到了输出

Simulation finishes, values reasonable, only during initialisation we get:
Matrix singular!
under-determined linear system not solvable!
The initialization finished successfully without homotopy method.

问题2：是否有办法避免奇异和/或干净地处理此初始化（例如，使用homotopy）？ 尽管在简化的示例中这可以正常工作（并为w产生正确的值），但我担心对于更复杂/现实的模型，我可能会遇到更多有问题的数字难题。我已经研究了homotopy，但是我真的看不到如何在这里应用它。我本以为以某种方式将其应用于w，但弗里兹森（Fritzson）书甚至似乎明确警告不要在派生表达式上使用此值，此外，似乎只有w.start值本身存在。

Answer 1

ComplexU，ComplexPressure，Compliance和Inertance是什么类？我尝试运行您的模型，但是这些似乎是您正在使用的另一个库的一部分。我用MSL或原始类型替换了它们。

此外，我还不太了解该模型的工作原理，您只定义了一个initial equation块，而没有实际的方程式。我尝试了以下模型：

model Helmholtz_test "Simple test of double Helmholtz resonator"
  constant Complex j = Modelica.ComplexMath.j;
  Complex U_a, U_b, U_c, U_d "Oscillating volume flow rate";
  Complex p_a, p_b, p_c, p_d "Oscillating pressure";
  parameter Modelica.SIunits.AngularFrequency w(start=2000, fixed=false);
  Modelica.SIunits.AngularFrequency real_w; //The "real" resonance frequency
  Real C = 7.14e-9;
  Real L = 80;
initial equation
  p_a.re = 1e+2;
equation
  U_a = Complex(0);
  U_d = Complex(0);
  p_a = p_b;
  p_a = -1 / (j * w * C) * (U_b - U_a);
  U_b = U_c;
  p_c - p_b = -j * w * L * U_b;
  p_c = p_d;
  p_c = -1 / (j * w * C) * (U_d - U_c);
  real_w = abs(sqrt(2/(L*C))); //The "real" resonance frequency
end Helmholtz_test;

我这就是你想要的吗？

您可以将w与real_w进行比较。一种是通过求解系统来计算的，另一种是通过方程式计算的。

如您所见，标准求解器很费力，但是总的枢轴求解器却可以解决系统问题。它收敛到另一端（p_d.re = -1e+2;），所以也许这是正确的值吗？

编辑：我将模型更改为正确的模型，我用最初的方程式弄乱了，现在一切正常！主求解器仍然失败，但是总枢轴找到了解决方案。

Answer 2

我想补充一下有关失效的非线性求解器的另一件事！如果您正在使用最新的每晚版本，则应收到以下消息：

Nonlinear iteration variables with default zero start attribute in NLSJac8. (1)
========================================
1: U_b.im:VARIABLE()  "Imaginary part of complex number" type: Real 
Nonlinear iteration variables with predefined start attribute in NLSJac8. (1)
========================================
1: w:VARIABLE(start = 2000.0 unit = "rad/s" fixed = false )  type: Real Info: Only non-linear iteration variables in non-linear eqation systems require start values. All other start values have no influence on convergence and are ignored. Use "-d=dumpLoops" to show all loops. In OMEdit Tools->Options->Simulation->OMCFlags, in OMNotebook call setCommandLineOptions("-d=dumpLoops")

此处报告的每个变量都应有一个起始值，如您所见w已经有一个起始值，但是U_b的虚部缺少一个。声明时，可以将其更改为U_b(im(start=10))。尽管您知道结果会很小，但是必须避免很大以免出现奇异之处。

如何找到振荡器的谐振频率？

2 个答案: