odeint没有给我期望

Question

我从ODE开始，我有一个Python代码，该代码首先尝试使用odeint函数求解DOE，然后将该解决方案与您自己计算出的ODE的解决方案进行比较（必须将其插入到码）。但是它们并不完全一致。

我已经尝试过软件程序，而且看来我手动计算的解决方案还可以，所以我想知道为什么odeint函数不能提供我期望的结果。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Define a function which calculates the derivative
def dy_dx(y,x):
    dydx = 2.0*x*(y-1)/(1-x**2) #
    return dydx

xs = np.linspace(-4,4,100) 

for i in range(-10,10,1):
    y0 = i
    ys = odeint(dy_dx, y0, xs) 
    ys = np.array(ys).flatten() 
    plt.plot(xs, ys);

# SECOND PART:

y_exact =  1+(y0)/(1-x**2) # manually computed solution

y_difference = ys - y_exact 
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(xs, ys, xs, y_exact, "--"); 
plt.title("Difference between exact solution and computed solution");

因此，我添加了“ range（）部分”，以了解它在不同的初始条件下如何变化，但它们都沿x = -1轴

我手动找到的解决方案在那里有一个限制，但不仅是一行，您可以看到是运行第二部分还是访问https://www.symbolab.com/solver/ordinary-differential-equation-calculator/2x%5Cleft(y-1%5Cright)dx%2B%5Cleft(x%5E%7B2%7D-1%5Cright)dy%3D%200

我只是想知道错误在哪里，或者odeint为什么将其作为结果。difference between odeint and my solution

我还应该补充一点，ODE可能有点奇怪，因为在集成时会获得绝对值。这可能是相关的。

Answer 1

您的数值解的初始条件为y(-4)=y0，因为odeint将时间间隔的第一点作为初始时间。相应地，您必须将您的确切解决方案更改为

y_exact =  1+((y0-1)*(1-xs[0]**2))/(1-xs**2)

您可以使用自己选择的工具进行检查，例如WA y'(x)=2*x*(y(x)-1)/(1-x^2), y(a)=b。

正如您还观察到的那样，您的ODE在x=-1和x=1处是奇异的，因此任何解决方案仅具有由这些点创建的3个子间隔中的任何一个作为域的域，即包含初始时间。同样，数值方法也无法很好地接近奇点，因此对于一些较小但不太小的[-4, -1-delta]，您必须将积分域限制为delta。或者，如果您真的想探索初始时间为0的中间间隔，则需要执行两次集成，一次从0到-1+delta，一次从0到{ {1}}。

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如果您考虑相关的微分方程而没有实际的奇点

1-delta

提供准确的解决方案

y'(x) = -2*x*(y-1)/(1+x^2),  y(x0) = y0

通过修改后的代码实现

y(x) = 1 + (y0-1)*(1+x0^2)/(1+x^2)

如果您找到（彩色的）数值解恰好位于（带底纹的灰色）精确解的中心，则会得到以下绘图。