找到最小数量的矩形以覆盖2D点数组

Question

我得到了一个二维点数组，任务是生成一个最小的矩形列表，其中所有矩形具有相同的大小和方向，它们覆盖所有的二维点位置并且可以重叠。

到目前为止，我有一个不太令人满意的解决方案，其中将数组中的第一个点选择为第一个矩形的中心，然后移动该矩形，以便最接近的点适合该点。重复此过程，直到已经如果要再次移动矩形，则覆盖点将丢失。之后，从下一个未发现的点开始重复该过程，直到没有剩余的点为止。不太令人满意。

目标是找出最佳算法。它不必是矩形的绝对最小数目，而应尽可能少。

Answer 1

由于只能采用启发式解决方案，因此我将尝试如下操作：

• 找到点的全局边界框；

• 用规则的矩形网格覆盖边界框，没有重叠也没有间隙。

• 如果矩形碰巧是空的，则将其丢弃。

您可以添加一个后处理步骤，以尝试改进：

• 选择成对的相邻矩形，并找到它们所覆盖的点的边界框；如果该框适合单个矩形，请合并两个矩形。

请注意，由于矩形具有相同的大小和方向，因此可以重新缩放数据，以使矩形成为单位正方形。 （也由小装饰品说）。

Answer 2

首先，可以以如下方式平移/投影坐标：矩形大小为1x1，方向为0°（与X / Y轴对齐）。所以我会假设这种情况。

然后您可以按照以下步骤操作：

1. 按其 x -坐标
对点进行排序
2. 创建有向图，如下所示：
   • 对于每个点 a ，取 x 间隔 [a _x ，a _{x < / sub> +1]} ，不包括 a 本身
   • 从此列表中排除其 y 坐标不在 [a _y -1，a _y ”范围内的点+1]
   • 通过 y -坐标
   对这些点进行排序
   • 将这些点放在点 a 的邻接列表中。
3. 将所有点标记为未访问
4. 如果没有未访问的点，请返回0表示不需要（更多）矩形。
5. 从排序的点列表中获取下一个未访问的点 a ：将 a 标记为已访问。
6. 如果 a 没有邻居，则增加矩形计数并从第4步开始重复
7. 在邻居上滑动一个矩形，使其矩形的左 x 坐标始终等于a _x ，这样：
   • 第一个选择的矩形具有与第一个未访问的相邻点相同的低 y 坐标
   • 通过此矩形覆盖来维护要访问的邻居的列表 L （仅当尚未将其标记为已访问时）
   • 所有下一个矩形位置均在其高 y 坐标端获得一个未访问的点。
   • L 中在滑动矩形的低 y 侧被发现的点从 L 中移除并再次标记为未访问
   • 每次标识一个新的矩形位置时，都会从第4步开始进行递归（DFS）调用。
   • DFS调用将返回覆盖所有其余未访问点所需的矩形数
   • 保留所有这些递归调用返回的最小值，并加1（对于当前矩形）
   • NB：可以通过将当前的最小结果作为截止点来修剪递归树，从而避免搜索增加太多的矩形数。
8. 处理完所有矩形位置后，将仍在 L 中的所有点标记为未访问。
9. 返回找到的最小矩形数。

这可能仍然是一个非常昂贵的算法，因为搜索树很容易变得很宽。

潜在的改进可能是使用BFS代替DFS，并使用优先级队列（例如Min Heap）。最小化的数字将是已经使用的矩形的数量（即，到目前为止的成本）加上最右边（未访问）的点与最左边未访问点之间的x坐标差，向上舍入（即，成本的下限）仍然领先）。这是一种A *算法，因此一旦遇到所有点都被覆盖（访问）的情况，您可以立即停止搜索。

此BFS方法的缺点是内存使用和管理，因为每个状态（在优先级队列中）都包含一组访问点。