从输入数据点生成平滑曲线的算法

Question

我正在寻找一种算法，该算法可以平滑地插入点，这些点进入 live 。

例如，假设我从10（x，y）对数组开始。我目前正在使用scipy和高斯窗口来生成平滑曲线。但是，我不知道是如何响应某个将来点生成的第11个点（而不完全重做所有11个点的平滑）来更新平滑曲线。

我要寻找的是一种算法，可以遵循先前的平滑曲线直到第10个（x，y）对，并且 也可以在第10个和第10个之间平滑插值第11对（在某种程度上类似于重做整个算法-因此没有锋利的边缘）。是否有可以满足我需求的东西？

Answer 1

我认为您可以使用Cubic Spline。给定n点(x_1, y_1)..(x_n, y_n)的列表，该算法在p_k和(x_k, y_k)之间找到具有以下约束的三次多项式(x_{k+1}, y_{k+1})：

• 多项式p_k和p_{k+1}穿过点(x_{k+1}, y_{k+1})；
• 多项式p_k和p_{k+1}在(x_{k+1}, y_{k+1})处具有相同的一阶导数；
• 多项式p_k和p_{k+1}在(x_{k+1}, y_{k+1})处具有相同的二阶导数。

此外，还有一些边界条件，为第一个和最后一个多项式定义。我使用了natural，它在曲线的末端将二阶导数强制为零。

您可以应用的步骤是：

1. 使用三次样条插值前10个点。
2. 将p_10的一阶导数值分配给变量d。
3. 运行p_10和p_11的三次样条，强制p_10的一阶导数为d，而p_11的二阶导数为零。

从那里，您可以对其余点重复相同的步骤。

此代码将为所有点生成插值：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.interpolate import CubicSpline

height=4
n = 20
x = np.arange(n)
xs = np.arange(-0.1,n+0.1,0.1)
y = np.random.uniform(low=0, high=height, size=n)

plt.plot(x, y, 'o', label='data')
cs = CubicSpline(x, y)
plt.plot(xs, cs(xs), color='orange')
plt.ylim([0, height+1])

现在，此代码将对前10个点进行插值，然后在点10和11之间进行另一个插值：

k = 10
delta = 0.001

plt.plot(x, y, 'o', label='data')
xs = np.arange(x[0], x[k-1]+delta, delta)
cs = CubicSpline(x[0:k], y[0:k])
plt.plot(xs, cs(xs), color='red')

d = cs(x[k-1], 1)

xs2 = np.arange(x[k-1], x[k]+delta, delta)
cs2 = CubicSpline(x[k-1:k+1], y[k-1:k+1], bc_type=((1, d), 'natural'))
plt.plot(xs2, cs2(xs2), color='blue')

plt.ylim([0, height+1])