在Matlab中求解微分方程

Question

我需要同时求解这两个微分方程。

dr^3/dt=(-3*D*Cs)/(ρ*r0^2 )*r*(1-C)

dC/dt=((D*4π*r0*N*(1-C)*r)-(Af*C))/V

注意：dr ^ 3 / dt是r ^ 3相对于t的导数

这两个方程类似于微粒悬液的溶解过程及其在血流中同时吸收的粒径（r）和浓度（C）随时间的变化。当固体溶解时，随着半径A的减小，半径r会减小，浓度C会增加，最终达到平稳状态（即达到平衡），这是因为该Af * C将溶解的固体移至血液中项（其中Af是某种吸收速率常数）。这些方程式来自本文，我正在尝试复制它们：jpharmsci.org/article/S0022-3549(18)30334-4/fulltext#sec3.2.1-C随t的变化应该类似于图3（DCU示例）。

我做了简化：dr ^ 3 / dt = 3r ^ 2 *（dr / dt），并用等式的两边除以3r ^ 2。颂歌变成：

function dydt=odefcnNY_v3(t,y,D,Cs,rho,r0,N,V,Af)
dydt=zeros(2,1);
dydt(1)=((-D*Cs)/(rho*r0^2*y(1)))*(1-y(2)); % dr*/dt
dydt(2)=(D*4*pi*N*r0*(1-y(2))*y(1)-(Af*y(2)))/V; % dC*/dt
end

y(1) = r* and 
y(2) = C*

r* and C* 

是本文中使用的术语，是“归一化”的半径和浓度，其中

r*=r/r0 and C*=C/Cs

其中：

• r =粒子半径（随时间变化并用dydt（1）表示）
• r0 =初始粒子半径
• C =溶解固体的浓度（随时间变化并用dydt（2）表示）
• Cs =饱和溶解度

其余代码如下。 根据作者对纸上使用的值的反馈进行更新，并将初始值更正为y0 = [1 0]

MW=224; % molecular weight
D=9.916e-5*(MW^-0.4569)*60/600000 %m2/s - [D(cm2/min)=9.916e-5*(MW^-0.4569)*60] equation provided by authors, divide by 600,000 to convert to m2/s 
rho=1300; %kg/m3
r0=10.1e-6; %m dv50
Cs=1.6*1e6/1e9; %kg/m3 - 1.6ug/m3 converted to kg/m3
V=5*0.3/1e6;%m3 5ml/Kg animal * 0.3Kg animal, divide by 1e6 to convert to m3
W=30*0.3/1000000; %kg; 30mg/Kg animal * 0.3Kg animal, divide by 1e6 to convert to m3
N=W/((4/3)*pi*r0^3*rho); % particle number
Af=0.7e-6/60; %m3/s
tspan=[0 24*3600]; %s in 24 hrs
y0=[1 0];
[t,y]=ode113(@(t,y) odefcnNY_v11(t,y,D,Cs,rho,r0,Af,N,V), tspan, y0);
plot(t/3600,y(:,1),'-o') %plot time in hr, and r*
xlabel('time, hr')
ylabel('r*, (rp/r0)')
legend('DCU')
title ('r*');
plot(t/3600,y(:,1)*r0*1e6); %plot r in microns
xlabel('time, hr');
ylabel('r, microns');
legend('DCU');
title('r');
plot(t/3600,y(:,2),'-') %plot time in hr, and C*
xlabel('time, hr')
ylabel('C* (C/Cs)')
legend('DCU')
title('C*');
plot(t/3600, y(:,2)*Cs) % time in hr, and bulk concentration on y
xlabel('time, hr')
ylabel('C, kg/m3')
legend('Dissolved drug concentration')
title ('C');

我首先尝试使用ode45，但是代码花费了很长时间才能运行，最终出现一些错误。然后，我尝试使用ode113并收到以下错误。

Warning: Failure at t=2.112013e+00.  Unable to meet integration tolerances without reducing the step size below the smallest value allowed (7.105427e-15) at time t.

更新：已更新功能代码以解决奇异性问题：

function dydt=odefcnNY_v10(t,y,D,Cs,rho,r0,N,V,Af)
dydt=zeros(2,1);
dydt(1)=(-D*Cs)/(rho*r0^2)*(1-y(2))*y(1)/(1e-6+y(1)^2); % dr*/dt
dydt(2)=(D*4*pi*N*r0*(1-y(2))*y(1)-Af*y(2))/V; %dC*/dt
end

结果

建模的机械背景

dr / dt的推导

dC / dt的推导

模型假设

在上面，您会发现显示这些方程式推导的幻灯片。他们假设在Noyes-Whitney方程中溶出速率dM / dt =（?/ h） 4?? ^ 2 ?（??−?），膜厚h等于粒子半径，河。如果雷诺数低且颗粒小于60um（在这种情况下为10um），这通常是在生物制药模型中进行的简化。如果进行此假设，则剩下dM / dt =? 4 ? ??（??−?）。我渴望复制本文，因为我想做同样的事情，即对皮下注射微悬液的药物吸收进行建模。我已经联系了作者，他们似乎不太确定自己所做的事情，因此我正在寻找其他来源，例如，这篇论文：https://pubs.acs.org/doi/pdf/10.1021/acs.iecr.7b04730在等式6中显示了dC / dt的等式。他们将单位体积的表面积（a）（等式5）的变化嵌入等式6。它们的传质系数kL是集总参数= D / h（扩散率/膜厚度）。

Answer 1

半径方程的原始形式

d(r^3)/dt = -3K*(r^3)^(1/3)*(1-C)

或低功耗的

dr/dt = -K/r*(1-C)  <==> d(r^2)/dt = -2K*(1-C)

在半径缩小到零（大约为r=sqrt(A-B*t)）的那一刻，您达到一个奇点，即，小球将在有限的时间内消失。从那时起，很明显，应该有r=0。可以通过将模型从2分量系统更改为仅C的标量方程来获得，并通过事件机制获得准确的时间。

或者，您也可以修改半径方程，以使r=0是自然的固定点。第一个版本以某种方式做到了这一点，但是由于第二个版本是等效的，因此仍然可以预期会有数值上的困难。可能的修改是

d(r^2)/dt = -2K*sign(r)*(1-C)

其中的信号函数可以由连续逼近代替，例如

x/(eps+abs(x)), x/max(eps,abs(x)), tanh(x/eps), ...

或以简化形式可以将奇点简化为

dr/dt = -K*(1-C) * r/(eps^2+r^2)

或还有其他变化

dr/dt = -K*(1-C) * 2*r/(max(eps^2,r^2)+r^2)

---

应用于给出的具体情况（使用python代替matlab）

def odefcnNY(t,y,D,Cs,rho,r0,N,V,Af):
    r,C = y;
    drdt = (-D*Cs)/(rho*r0**2)*(1-C) * r/(1e-6+r**2); # dr*/dt
    dCdt = (D*4*pi*N*r0*(1-C)*r-(Af*C))/V;            # dC*/dt
    return [ drdt, dCdt ];

并鉴于r = 0处的奇点应用隐式方法

D=8.3658e-10#m2/s 
rho=1300; #kg/m3
r0=10.1e-6; #m dv50
Cs=0.0016; #kg/m3
V=1.5e-6;#m3
W=9e-6; #kg
N=W/(4/3*pi*r0^3*rho);
Af=0.7e-6/60; #m3/s
tspan=[0, 24*3600]; #sec in 24 hours
y0=[1.0, 0.0]; # relative radius starts at full, 1.0
sol=solve_ivp(lambda t,y: odefcnNY(t,y,D,Cs,rho,r0,Af,N,V), tspan, y0, method="Radau", atol=1e-14);
t = sol.t; r,C = sol.y;

然后得出求解图

现在具有更正参数的参数看起来与已发布的图形非常接近。