对于给定的n和m值，找到fib（n）mod m，其中n非常大。 （皮萨诺时期）

Question

输入

整数“ n”（最多10 ^ 14）和“ m”（最多10 ^ 3）

输出

Fib（n）模m

示例案例

输入：239 1000输出：161 输入：2816213588 239输出：151

问题提示

由于不可能重复'n'次（因为n很大），请考虑使用Pisano周期（每个元素的斐波那契数列除以任何整数时的余数）

我编写的代码（可能是错误的，但通过了上述情况）

n, m = map(int, input().split())
a, b = 0, 1

fib_rems = [0, 1] # remainders after diving 'm'
fib = [0, 1] # regular fibonacci series

while True:

  a, b = b, a+b # cotinuing to grow Fibonacci series
  fib.append(b)
  fib_rems.append(b%m)

  # checking if last two items in remainder are 0, 1 which is indication to pisano period
  if fib_rems[-2] == 0 and fib_rems[-1] == 1:

    # remving last two items in fib and fib_rems which are 1 and 0 so we get length equivalet excatly one period
    fib_rems.pop()
    fib_rems.pop()

    fib.pop()
    fib.pop()

    break

period = len(fib_rems)
rem = n % period
print(fib[rem]%m)

我做的第一件事是发现皮萨诺时期（重复余数的时间），其余部分感到困惑。

1. 为什么fib（n = 2015）mod 3等同于fib（7）mod 3？ （对于?= 3，周期为01120221，长度为8，2015 = 251 * 8 + 7）
2. 一般来说，得到剩余序列后，如何（数学证明）用于计算Fib（n）mod m？
3. 我可以改善/优化上面的代码吗？

（简而言之，我不理解上面代码的最后两行）

非常感谢任何提示/指导/参考/解决方案！

Answer 1

您可以通过使用二进制幂运算来使其更快。 最终归结为以下两个二次递归关系：

F （2 n -1）= F （ n ）^ 2 + F （ n -1）^ 2

F （2 n ）=（2 F （ n -1）+ F （ n ）） F （ n ）

您可以在每一步取余数 m 。

Answer 2

每个数字都可以表示为ax + b

对于n = 2015和m = 3

2015 =（无重复次数）*（无期限）+剩余

0 = <剩余<=期限长度

剩余的值是一个索引，fib（n）的其余部分位于values_in_period数组中。

2015 = 251 * 8 + 7

此外，2015年len（period）= 7

values_in_period = [0，1，1，2，0，2，2，1]

在这种情况下，由于我们的剩余值为7（即fib（n）的其余部分所在的索引），values_in_period的第7个索引就是1！

fib（2015）mod 3可以简化为fib（7）mod 3，因为在斐波那契数列中，每第7个值的其余部分相同，因此为了简化起见可以考虑使用fib（7）mod 3，但它不需要，而且完全脱离上下文。