如何理解Modelica模型中的病态雅可比问题？

Question

我更改了模型中的参数，但有时会由于条件不佳的Jacobian而导致模拟停止，我不确定这个错误意味着什么。

我的问题是：

1. 是否有关于如何在Modelica模型中求解DAE方程的解释，所以我可以理解Jacobian矩阵的用法？
2. 我怎么知道哪个等式或参数导致了Dymola中的这个问题？

Answer 1

Modelica模型或多或少映射到混合ODE系统（或索引为1的混合DAE系统）。为简单起见，假定它映射到一个显式的连续时间ODE系统

xdot = f（x，p，t），x（0）= x0

请注意，混合ODE系统由多个连续时间ODE系统组成。雅可比行列式是f w.r.t.的偏导数。 x是

df / dx（p，x0，t）

常见的现代数值求解器将此矩阵用于自适应步长数值积分，即在每个时间步长选择一个新的步长。对于慢速动态，选择大步长，反之亦然。在每个时间步上，都可能使用高斯-牛顿迭代方案来求解非线性方程组，该方案需要雅可比矩阵的逆（或其近似）。如果雅可比行列式在特定时间步长处病态或半奇异，则会导致数值不稳定，从而可能会妨碍数值解的计算。

1. 我更喜欢的一本好书是Sundials套件的文档/用户指南，例如CVODE guide的Ch2。除了著名的书籍外，更高级的文献包括与此类现代数值求解器有关的期刊论文，例如Sundials，DASSL等。

2. 可能是，例如通过计算雅可比行列的秩和核，并找出哪些方程组使雅可比行列为奇数。