大O表示法2 ^ log（n）等于大O且可以更大

Question

我正在尝试确定是否f(n) = O(g(n))。

我了解：

O(g(n)) = { f(n) there exists constants c, n0 > 0 such that 0 ≤ f(n) ≤ c × g(n) for all n ≥ n0 }

所以我有

f(n) = 2^(logn)
g(n) = n^1000

我知道f(n)通常与O(n)最相似。但是它小于g(n)，因此即使Big O比预期大得多，证明也成立吗？

Answer 1

如果

f(n) = n
g(n) = n^1000

然后f = O(g)。大致来说，如果f=O(g)和h比g“大”，则f=O(h)。

但是这里有一个陷阱：

f(n) = 2^(logn)

这个log有什么基础？通常，我们写类似O(logn)的东西，我们不在乎基础。 O（log ₂ n）和O（log ₉₉ n）是同一件事，因为log _a n = k log _b n，其中k是常数。但是2 ^{log _b n} 是什么？

2^(logb n) = 2^((log2 n)(logb 2))
           = (2^(log2 n))^(logb 2)
           = n^(logb 2)

与n ¹⁰⁰⁰ 相比如何？
假设：

b = 2^(1/2000)  (just slightly more than 1)
2 = b^2000
logb 2 = 2000

因此在某些情况下，2 ^logn = O（n ¹⁰⁰⁰ ）是不正确的。