Question

我有一个数字序列，并根据数字的奇数执行操作。它最终沸腾到一个变量中只有奇数个数，这导致不变式失败，因为它坚持认为数字不是奇数。

要检查它，我做了这个。在这里，只要数字为奇数，它就会尝试将其相乘。除非我忽略了某些内容，否则将两个奇数相乘应始终会导致另一个奇数（因为它应为(m+1)*(n+1)）。 dafny承认数字为奇数时，将乘法视为断言。

if A[i]%2 == 0 {
  ... // not important skip for now
} else {
  assert A[i]%2 == 1;
  assert (A[i] * A[i])%2 == 1;
  ... // do something with it, lets say multiply
}

有解决这个问题的方法吗？
数组本身包含整数（偶数和奇数）。
（这是在while周期内执行的操作）。

Answer 1

我们想展示以下引理。

lemma odd_mul_odd(a: int, b: int)
requires a % 2 == 1
requires b % 2 == 1
ensures (a * b) % 2 == 1

在Dafny中做了一些数学证明后，我了解到a == (a/b)*b + (a%b)是它可以轻松证明的一个公理。

因此，我将尝试基于以下逻辑进行证明：

为某些x写a = 2x + 1
将b = 2y + 1写入y
写（a * b）= 4xy + 2x + 2y + 1 = 2（2xy + x + y）+1
因此（a * b）％2 == 1

这是在达夫尼，

lemma odd_mul_odd(a: int, b: int)
requires a % 2 == 1
requires b % 2 == 1
ensures (a * b) % 2 == 1
{
  var x := a / 2;
  var y := b / 2;

  calc {
    a * b;
    {   
      assert a == 2*x + 1;
      assert b == 2*y + 1;
    }   
    (2*x + 1) * (2*y + 1); 
    4*x*y + 2*x + 2*y + 1;
    2*(2*x*y + x + y) + 1;
  }

  calc {
    (a * b) % 2;
    (2*(2*x*y + x + y) + 1) % 2;
    1;  
  }
}

不幸的是，在达夫尼，这些数学证明有点令人痛心。我唯一的建议是自由使用calc语句，一次只做一步。

达夫尼（Dafny）建议，乘以奇数并不总是得出奇数结果

1 个答案: