Question

我试图理解为什么Dijkstra的算法不适用于负权重。阅读Shortest Paths上的示例，我试图找出以下场景：

    2
A-------B
 \     /
3 \   / -2
   \ /
    C

来自网站：

假设边缘全部从左向右，如果我们开始使用A，Dijkstra的算法将选择边缘（A，x）最小化 d（A，A）+长度（边缘），即（A，B）。然后设置d（A，B）= 2并选择另一个边缘（y，C）最小化d（A，y）+ d（y，C）;唯一的选择是（A，C）它设定d（A，C）= 3。但它永远找不到从A到A的最短路径 B，通过C，总长度为1。

我无法理解为什么使用Dijkstra的以下实现，d [B]将不会更新为1（当算法到达顶点C时，它将在B上运行放松，看到d [ B]等于2，因此将其值更新为1）。

Dijkstra(G, w, s)  {
   Initialize-Single-Source(G, s)
   S ← Ø
   Q ← V[G]//priority queue by d[v]
   while Q ≠ Ø do
      u ← Extract-Min(Q)
      S ← S U {u}
      for each vertex v in Adj[u] do
         Relax(u, v)
}

Initialize-Single-Source(G, s) {
   for each vertex v  V(G)
      d[v] ← ∞
      π[v] ← NIL
   d[s] ← 0
}

Relax(u, v) {
   //update only if we found a strictly shortest path
   if d[v] > d[u] + w(u,v) 
      d[v] ← d[u] + w(u,v)
      π[v] ← u
      Update(Q, v)
}

谢谢，

梅尔

Answer 1

您建议的算法确实会在此图中找到最短路径，但不是所有图形。例如，请考虑以下图表：

Figure of graph

假设边缘从左到右指向，如示例所示，

您的算法将按如下方式运行：

首先，您将d(A)设置为zero，将其他距离设置为infinity。
然后展开节点A，将d(B)设置为1，将d(C)设置为zero，将d(D)设置为99 }。
接下来，展开C，不做任何净更改。
然后展开B，这无效。
最后，展开D，将d(B)更改为-201。

请注意，尽管d(C)的最短路径长度为0，但C仍然是-200，。 / strong>因此，在某些情况下，您的算法无法准确计算距离。此外，即使您要存储指示如何从每个节点到达起始节点A的指针，您也会以错误的路径从C返回到A。< / p>

Answer 2

注意，如果图表没有负周期，即总计权重小于零的周期，Dijkstra甚至可以用于负权重。

当然有人可能会问，为什么在templatetypedef Dijkstra所做的例子中，即使没有负循环也没有失败，实际上甚至没有循环。这是因为他正在使用另一个停止标准，一旦达到目标节点就保持算法（或者所有节点已经安置一次，他没有确切地指定）。在没有负权重的图表中，这可以正常工作。

如果正在使用替代停止标准，当优先级队列（堆）运行为空时停止算法（此问题中也使用此停止标准），那么dijkstra即使对于具有负数的图形也会找到正确的距离重量但没有负循环。

然而，在这种情况下，没有负循环的图的dijkstra的渐近时间界限将丢失。这是因为当由于负权重而找到更好的距离时，可以将先前建立的节点重新插入堆中。此属性称为标签更正。

Answer 3

你没有在算法的任何地方使用S（除了修改它）。 dijkstra的想法曾经是一个顶点在S上，它将不再被修改。在这种情况下，一旦B在S内，您将无法通过C再次到达。

这个事实确保了O（E + VlogV）的复杂性[否则，你将重复边多次一次，顶点多一次]

换句话说，您发布的算法可能不在O（E + VlogV）中，正如dijkstra算法所承诺的那样。

Answer 4

由于Dijkstra是一种贪婪的方法，一旦顶点被标记为此循环的访问，即使有另一条路径以较低的成本稍后到达它，它也永远不会再次重新评估。这种问题只有在图中存在负边时才会发生。

一个贪心算法，顾名思义，总是做出那个时刻似乎最好的选择。假设你有一个需要的目标函数在给定点优化（最大化或最小化）。 贪婪算法在每个步骤中做出贪婪的选择，以确保优化目标函数。 贪婪算法只有一次计算最佳解决方案，以便它永远不会返回并反转决策。

Answer 5

考虑一下如果你在B和C之间来回走动会发生什么......瞧

（仅在未指示图表时相关）

编辑：我认为这个问题与AC *的路径只能比负面权重边缘的AB更好的事实有关，因此在AC之后去哪里并不重要，假设非负权重一旦你选择在进入AC后达到B，就不可能找到比AB好的路径。

Answer 6

“2）我们可以将Dijksra算法用于具有负权重的图的最短路径 - 一个想法可以是，计算最小权重值，将正值（等于最小权重值的绝对值）添加到所有权重并运行Dijksra的修改图算法。这个算法会起作用吗？“

除非所有最短路径具有相同的长度，否则这绝对不起作用。例如，给定两条边长的最短路径，并且在向每条边添加绝对值之后，总路径成本增加2 * | max负权重|。另一方面，另一条长度为三条边的路径，因此路径成本增加了3 * |最大负重量|。因此，所有不同的路径都会增加不同的数量。

Answer 7

TL; DR：对于您发布的伪代码，它的权重为负。

Dijkstra算法的变体

关键是 Dijkstra算法有3种版本，但该问题下的所有答案都忽略了这些变体之间的差异。

使用嵌套for循环来放松顶点。这是实现Dijkstra算法的最简单方法。时间复杂度为O（V ^ 2）。
基于优先级队列/堆的实现+ 不允许重新进入，其中重新进入意味着可以将松弛的顶点再次推入优先级队列。
基于优先级队列/堆的实现+ 允许重新进入。

版本1和版本2在权重为负的图形上将失败（如果您在这种情况下获得正确答案，那只是一个巧合），但版本3仍然有效。

在原始问题下发布的伪代码是上面的版本3，因此它具有负权重。

这里是Algorithm (4th edition)的一个很好的参考，它说（并包含上面提到的版本2和3的Java实现）：

问： Dijkstra的算法是否可以使用负权重？

A。是的，没有。有两种最短路径算法称为Dijkstra算法，这取决于是否可以将一个顶点多次入队到优先级队列中。当权重为非负数时，这两个版本会重合（因为没有一个顶点会被多次排队）。在存在负边权重（但不包含负循环）的情况下，在DijkstraSP.java中实现的版本（允许顶点多次入队）是正确的，但在最坏的情况下其运行时间是指数的。（我们注意到，如果边缘加权的有向图的边的权重为负，则DijkstraSP.java会引发异常，这样程序员就不会对这种指数行为感到惊讶。）如果我们修改DijkstraSP.java使得顶点无法入队多次（例如，使用marked []数组标记已放松的那些顶点），则可以保证算法以E log V时间运行，但是当边缘的权重为负时，可能会产生错误的结果。

有关更多实施细节以及版本3与Bellman-Ford算法的连接，请参见this answer from zhihu。这也是我的答案（但中文）。目前，我没有时间将其翻译成英文。如果有人可以这样做并在stackoverflow上编辑此答案，我将非常感激。

Answer 8

您可以对不包含负循环的负边缘使用dijkstra算法，但必须允许顶点可多次访问，而该版本将失去快速的时间复杂性。

在那种情况下，实际上我已经看到最好使用SPFA algorithm，它具有正常的队列并且可以处理负边缘。

Answer 9

我将结合所有评论以更好地理解这个问题。

有两种使用 Dijkstra 算法的方法：

标记已经找到与源的最小距离的节点（更快的算法，因为我们不会重新访问已经找到最短路径的节点）
不标记已经找到离源最小距离的节点（比上面慢一点）

现在问题来了，如果我们不标记节点以便我们可以找到最短路径，包括那些包含负权重的路径会怎样？

答案很简单。考虑图中只有负权重的情况：

graph containing neg. cycle )

现在，如果您从节点 0（源）开始，您将有如下步骤（这里我没有标记节点）：

0->0 as 0, 0->1 as inf , 0->2 as inf 开头
0->1 为 -1
0->2 为 -5
0->0 为 -8（因为我们没有放松节点）
0->1 为 -9 .. 依此类推

这个循环将永远持续下去，因此 Dijkstra 算法无法找到负权重的最小距离（考虑所有情况）。

这就是为什么 Bellman Ford Algo 用于在负权重的情况下找到最短路径的原因，因为它会在负循环的情况下停止循环。

使用Dijkstra算法的负权重

9 个答案:

Dijkstra算法的变体