将图形划分为连接的子图，其中的顶点集必须位于同一子图中

Question

我有连通的无向图G =（V，E），集合S = {S_1，S_2，...，S_n}，其中每个S_i是V的子集，并且k> 1。 1.如何将V分割为k个子集，以保证：

1. 对于每个i，S_i中的每个节点都在相同的子集中
2. 每个子集代表G？
的连通子图

Answer 1

施密纳森林问题是，给定加权图G =（V，E）和顶点对（s ₁ ，t ₁ ），...，（s _m ，t _m ），找到G中最轻的边 - 子图H，使得对于所有i，顶点s _i 和t _i 属于H的相同连通组件。

您的问题的决定版本本质上是具有单位权重的Steiner林的决策版本。不幸的是，这个特殊情况仍然是NP难的。

从Steiner森林的特殊情况到您的问题的减少是，给定Steiner森林的未加权实例以及确定是否存在最多成本c的解决方案的指令，使用相同的图形创建问题的实例， k = | V | - c，并且，对于所有i，让S _i = {s _i ，t _i }。如果存在最多成本的Steiner林c，则林的连通组件是您的子集，其数量至少为| V | - c = k。相反，如果您的问题实例有解决方案，那么我们可以在您的每个子集中找到生成树，总成本最多为| V | - k = c。

已知的最佳近似比为2，如果k很小，这对你没有多大帮助。你可能不得不使用分支和绑定。

Answer 2

一些随机观察。 您可能无法加入两个S_i，S_j，因为它们不会形成连接的子图。由于图表是连接的，如果你只是添加了足够的其他S_k，你总是可以连接它们 - 最终你会得到根据定义连接的完整图形。因此，连接要求促使您进行合并。然而，k子集的要求驱使你将事物分开。基本上，你有一个n ^ k搜索空间，如果你跟踪这些条件，你可以从根本上修剪。当然，如果你没有S中的“免费”节点，那就完全改变了游戏。

是的，不是一个真正的答案，而是一个开头。无论如何会发布;）