与原始图形具有相同边数的子图

Question

我目前有一个有效的算法来生成图的子图（使用boost库）。我的问题，虽然看似显而易见，但答案更多的是在理论方面：未定向的，未加权的图G的子图S能否具有与G相同的边数，不包括G本身？ S可以拥有的顶点数量没有限制。

我对上述问题的第一次猜测必须是否定，但这是基于“常识和挥手”，而不是严格的数学论证。有没有人有替代答案或知道子图必须遵守的一套数学标准？

谢谢， VV

Answer 1

是。如果G有一个孤立的顶点（一个没有边进或出），那么通过去除该顶点获得的G的子图具有相同数量的边但是严格地少于顶点。

假设G没有孤立的顶点。 G的任何（严格即非G）子图必须包含G的所有顶点或省略G的某个顶点v。如果是前者，则它不能具有G的所有边缘或者它将是G.如果后者，因为v至少有一个事件边e（假设），子图不能包含e，因为它不包含两个端点;即，它不包含v。因此，G的任何子图都具有比G本身更少的边缘。

Answer 2

是 - 考虑使用isolated vertex的图表G。删除此顶点会得到G的正确子图，其边集与G的边集完全相同。

如果图形没有孤立的顶点，则答案为“否”：当您移除顶点时，顶点的所有边incident都将被删除。由于每个顶点至少有一个这样的边（记住：没有孤立的顶点），边数会减少。