最小二乘法不能按预期工作，或者是这样吗？

Question

我尝试通过最小二乘法提高三边测量精度。对于初始估计，我得到了簇点的平均值。然后增加该值直到到下一个估计的距离足够小。使用此公式

计算增量值

我的问题是，为什么大多数时候最终的答案都会从它应有的地方转移出来？最初的估计甚至更好，尽管不那么准确。 我在这里想念一下吗？

修改

公式如here所述。我希望这张照片解释得更好，

看到最后一点甚至在交叉区域之外。

Answer 1

我认为我对这个问题有足够的认识来提供答案。

基本上三角区域的内部完全由下冲三个估计距离（不准确的圆半径）的点组成。因此，对解决方案进行迭代改进，寻求最小平方误差近似，将这一点移到三角区域之外也就不足为奇了。

更多关于为什么区域内的点给出低于给定估计值的距离：这些点正是所有三个圆圈内的点（如果这样的布置成立）。因此，从这一点到圆心的三个距离都低于它们各自的半径。

使用三个角点的平均值（这是问题中群集点的含义吗？）可能是一个非常好的开始方式。如果有一个简单的地方可以改进计算，那么它可能在于使用加权最小二乘准则而不是绝对最小二乘准则。

我的意思是，如果一个半径是10码，而另外两个半径要大得多（比如200和300码，为了讨论），假设估计距离可能没有意义都有大小相等的错误（这是绝对最小二乘法适合的）。相反，假设估计距离中的误差与每个距离大致成比例（相对误差标准）更可能产生更好的解决方案，例如，给予较短距离更大的权重（因为其中的比例误差绝对幅度小于较长距离的比例误差）。

这只是您可能希望在解决方案中加入的一个想法的草图。我认为只有三个数据可以使用（已知相当精确的位置作为圆心，三个半径的不确定性更大）。因此，尝试应用在准确性方面复杂的方法是没有意义的，而是更喜欢提供稳健解决方案的方法。我认为相对误差标准会让你朝这个方向前进。

Answer 2

最小二乘法最小化了误差的整体平方，但它没有说明单个点与真实值的接近程度。系数受所有点的影响，而不仅仅是少数几个。