如何找出某个数字的单位数字（例如3 power 2011）。我应该使用什么逻辑来找到这个问题的答案？
答案 0 :(得分：21)
对于基数3：
3^1 = 3
3^2 = 9
3^3 = 27
3^4 = 81
3^5 = 243
3^6 = 729
3^7 = 2187
...
即单位数字只有4种可能性，然后它会在同一个循环中重复。
在Euler's theorem的帮助下，我们可以证明这适用于任何整数n，这意味着它们的单位数将在最多4个连续指数后重复。仅查看任意乘积的单位数相当于乘以模乘数10的其余部分，例如：
2^7 % 10 = 128 % 10 = 8
也可以显示（并且非常直观）对于任意基数，任何功率的单位数将仅取决于基本身的单位数 - 即2013 ^ 2013具有与3相同的单位数^ 2013。
我们可以利用这两个事实来提出一个非常快速的算法（感谢help - 我可以提供更快的版本）。
我们知道，对于任何数字0-9，最多会有4种不同的结果，我们也可以将它们存储在查找表中：
{ 0,0,0,0, 1,1,1,1, 6,2,4,8, 1,3,9,7, 6,4,6,4,
5,5,5,5, 6,6,6,6, 1,7,9,3, 6,8,4,2, 1,9,1,9 }
这是按顺序0-9的可能结果，以四肢分组。现在的想法是指数n ^ a到
i 4*i（它是该特定数字的起始偏移量）off（如欧拉定理所述，我们只有四种可能的结果！）off添加到4*i以获得结果现在为了尽可能提高效率，我们将对基本算术运算进行一些调整：
a % 4相当于说a&3（屏蔽1位和2位，形成余数％4）C中的算法：
static int table[] = {
0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 6, 2, 4, 8, 1, 3, 9, 7, 6, 4, 6, 4,
5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 1, 7, 9, 3, 6, 8, 4, 2, 1, 9, 1, 9
};
int /* assume n>=0, a>0 */
unit_digit(int n, int a)
{
return table[((n%10)<<2)+(a&3)];
}
初始索赔的证据
从观察中我们注意到3 ^ x的单位数每四次重复一次。声称这适用于任何整数。但这实际上是如何证明的？事实证明，使用模运算很容易。如果我们只对单位数字感兴趣，我们可以以10为模数执行我们的计算。它相当于说4个指数之后的单位数周期或者说
a^4 congruent 1 mod 10
如果这样，那么例如
a^5 mod 10 = a^4 * a^1 mod 10 = a^4 mod 10 * a^1 mod 10 = a^1 mod 10
也就是说，^ 5产生与^ 1相同的单位数字，依此类推。
来自Euler's theorem我们知道
a^phi(10) mod 10 = 1 mod 10
其中phi（10）是1到10之间的数字，它们是10的共同素数（即它们的gcd等于1）。数字＆lt; 10个共同素数到10个是1,3,7和9.所以phi（10）= 4，这证明真的是a^4 mod 10 = 1 mod 10。
要证明的最后一个声明是，对于基数> = 10的指数，只需查看基数的单位数就足够了。假设我们的基数是x> = 10，所以我们可以说x = x_0 + 10 * x_1 + 100 * x_2 + ...（基数10表示）
使用模块化表示很容易看出确实
x ^ y mod 10
= (x_0 + 10*x_1 + 100*x_2 + ...) ^ y mod 10
= x_0^y + a_1 * (10*x_1)^y-1 + a_2 * (100*x_2)^y-2 + ... + a_n * (10^n) mod 10
= x_0^y mod 10
其中a_i是包含x_0幂但最终不相关的系数，因为整个乘积a_i *（10 * x_i）^ y-i将被10整除。
答案 1 :(得分：8)
我确信有一种合适的数学方法可以解决这个问题，但我建议你，因为你只关心最后一位数，因为理论上每一个数字本身重复乘以最终会产生一个重复模式（当只看到最后一个数字），您可以简单地执行乘法，直到您检测到第一次重复，然后将指数映射到您构建的模式中的适当位置。
请注意，因为您只关心最后一位数字，所以在开始构建模式映射之前，可以通过将输入数字截断为其一位数来进一步简化操作。这将允许您确定最后一个数字，即使是任意大的输入，否则会导致第一次或第二次乘法溢出。
以下是JavaScript中的基本示例：http://jsfiddle.net/dtyuA/2/
顺便说一句，3^2011中的最后一位数字是7。
答案 2 :(得分：8)
你应该看看Modular exponentiation。你想要的是用m = 10计算 n ^ e（mod m）的情况。这与计算除法的余数除以10相同。
你可能对Right-to-left binary method计算它感兴趣，因为它是最节省时间的，而最简单的并不太难实现。这是来自维基百科的伪代码：
function modular_pow(base, exponent, modulus)
result := 1
while exponent > 0
if (exponent & 1) equals 1:
result = (result * base) mod modulus
exponent := exponent >> 1
base = (base * base) mod modulus
return result
之后，只需用模数= 10调用它就可以得到你想要的基数和指数，这就是你的答案。
编辑：对于一个更简单的方法，CPU效率更低但内存更多，请查看Wikipedia上文章的Memory-efficient部分。逻辑很简单：
function modular_pow(base, exponent, modulus)
c := 1
for e_prime = 1 to exponent
c := (c * base) mod modulus
return c
答案 3 :(得分：3)
我们可以从检查每个结果的最后一位数开始，将基数10位数提升为连续的幂：
d d^2 d^3 d^4 d^5 d^6 d^7 d^8 d^9 (mod 10)
--- --- --- --- --- --- --- --- ---
0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 4 8 6 2 4 8 6 2
3 9 7 1 3 9 7 1 3
4 6 4 6 4 6 4 6 4
5 5 5 5 5 5 5 5 5
6 6 6 6 6 6 6 6 6
7 9 3 1 7 9 3 1 7
8 4 2 6 8 4 2 6 8
9 1 9 1 9 1 9 1 9
我们可以看到，在所有情况下，最后一个数字循环不超过四个不同的值。使用这个事实，假设n是一个非负整数而p是一个正整数，我们可以直接计算结果（例如在Javascript中）：
function lastDigit(n, p) {
var d = n % 10;
return [d, (d*d)%10, (d*d*d)%10, (d*d*d*d)%10][(p-1) % 4];
}
......甚至更简单：
function lastDigit(n, p) {
return Math.pow(n % 10, (p-1) % 4 + 1) % 10;
}
lastDigit(3, 2011)
/* 7 */
第二个功能相当于第一个功能。请注意，即使它使用取幂，它也不会使用大于9到4的幂数（6561）。
答案 4 :(得分：3)
解决此类问题的关键在于Euler's theorem。
这个定理允许我们说a ^ phi（m）mod m = 1 mod m，当且仅当a和m是互质的时候。也就是说，a和m不均匀分配。如果是这种情况，（并且就你的例子而言），我们可以在纸上解决问题，而不需要任何编程。
让我们解决3 ^ 2011的单位数，如您的示例所示。这相当于3 ^ 2011 mod 10。
第一步是检查是3和10是共同素数。它们不均匀分配，所以我们可以使用欧拉定理。
我们还需要计算totient或phi值为10的值。对于10，它是4.对于100 phi是40,1000是4000等。
使用欧拉定理，我们可以看到3 ^ 4 mod 10 = 1.然后我们可以重新编写原始示例：
3^2011 mod 10 = 3^(4*502 + 3) mod 10 = 3^(4*502) mod 10 + 3^3 mod 10 = 1^502 * 3^3 mod 10 = 27 mod 10 = 7
因此，3 ^ 2011的最后一位数字是7。
如你所见，这不需要任何编程，我在一张草稿纸上解决了这个例子。
答案 5 :(得分：1)
你们让简单的事情变得复杂。
假设你想找出abc ^ xyz的单位数字。
divide the power xyz by 4,if remainder is 1 ans is c^1=c.
if xyz%4=2 ans is unit digit of c^2.
else if xyz%4=3 ans is unit digit of c^3.
if xyz%4=0
then we need to check whether c is 5,then ans is 5
if c is even ans is 6
if c is odd (other than 5 ) ans is 1.
答案 6 :(得分：0)
贝娄是一张桌子，其功率和单位数为3。
0 1
1 3
2 9
3 7
4 1
5 3
6 9
7 7
使用此表，您可以看到单位数字可以是1,3,9,7，并且顺序将按此顺序重复，以获得更高的3次幂。使用此逻辑，您可以找到（3 power 2011）的单位数字）是7.您可以对一般情况使用相同的算法。
答案 7 :(得分：0)
这是一个适用于不是基数因子倍数的数字的技巧（对于基数10，它不能是2或5的倍数。）让我们使用基数3.你在尝试什么找到是3 ^ 2011 mod 10.找到3的幂，从3 ^ 1开始，直到找到一个最后一个数字1.对于3，你得到3 ^ 4 = 81。将原始功率写为（3 ^ 4）^ 502 * 3 ^ 3。使用模运算，（3 ^ 4）^ 502 * 3 ^ 3与（^具有相同的最后一位）1 ^ 502 * 3 ^ 3一致。因此3 ^ 2011和3 ^ 3具有相同的最后一位数，即7。
这里有一些伪代码来解释它。这将找到基数B中b ^ n的最后一位数。
// Find the smallest power of b ending in 1.
i=1
while ((b^i % B) != 1) {
i++
}
// b^i has the last digit 1
a=n % i
// For some value of j, b^n == (b^i)^j * b^a, which is congruent to b^a
return b^a % B
如果b的幂没有以1结尾，则需要小心防止无限循环（在基数10中，2或5的倍数不起作用。）
答案 8 :(得分：0)
在这种情况下找出重复集，它是3,9,7,1并且它以相同的顺序重复......所以将2011除以4会给你提醒3.这是第3个元素在重复集中。这是找到任何给定号码的最简单方法。如果要求3 ^ 31，那么31/4的提醒是3，所以7是单位数字。对于3 ^ 9,9 / 4为1，因此单位为3. 3 ^ 100，单位为1。
答案 9 :(得分：0)
如果你有数字和指数分开，那很容易。
设n1为数字，n2为幂。 **代表权力。
假设n1> 0。
％表示模数除法。
伪代码看起来像这样
def last_digit(n1, n2)
if n2==0 then return 1 end
last = n1%10
mod = (n2%4).zero? ? 4 : (n2%4)
last_digit = (last**mod)%10
end
说明：
我们只需要考虑数字的最后一位数，因为这决定了数字的最后一位数。 它是数学属性，每个数字（0-9）幂的最后一位数的可能性计数最多为4.
1）现在如果指数为零，我们知道最后一位数字是1。
2）在数字（n1）
上获取％10的最后一位数字3）指数上的％4（n2） - 如果输出为零，我们必须将其视为4，因为n2不能为零。如果％4不为零，我们必须考虑％4值。
4）现在我们最多有9 ** 4。这对于计算机来说很容易计算。 取这个数字的％10。你有最后一位数。